Analyse

Documents de Dominique Hoareau pour l'agrégation en analyse mathématique
Dominique Hoareau propose de bons documents en analyse pour la préparation à l'agrégation :

Arithmétique dans Z : Un bien joli document de 28 pages sur l'arithmétique qui sort des sentiers battus et propose des questions du jury et des exercices bien sentis.
Cauchy-Schwarz par le calcul différentiel : Démonstration du Théorème du multiplicateur de Lagrange (ou Théorème des extrema liés), et applications. Pour la préparation à l'agrégation.
Convexité, monotonie, intervalles de R : Des résultats fins sur la convexité (une fonction convexe est localement lipschitzienne, raccordement convexe, critère local de convexité pour une fonction continue...), des passages du local au global (par exemple un critère local de croissance d'une fonction continue) et des raffinements subtils. Ces pages permettent d'approfondir certaines notions d'analyse et d'utiliser les grand théorèmes in situ. Convient aux agrégatifs ou pour un approfondissement.
De l´individuel au collectif : revue de quelques théorèmes d´existence en mathématiques - Un lemme de Schur affirme que tout endomorphisme d´un espace vectoriel E, qui stabilise chaque droite de E, est une homothétie. A l´instar de ce premier résultat, on envisage les conclusions du type : il existe un objet y tel que, quel que soit l´objet x, x et y sont reliés par une propriété P(x,y). On désigne par la majuscule (P) un tel énoncé et par la minuscule idoine (p) la proposition écrite en intervertissant dans (P) les quantificateurs ∃ et ∀. Dans (p), à x fixé, l´objet y créé est le bien ou la propriété de x. On cherche, dans la suite du texte, à exhiber des notions ”socialisantes” qui permettent de remonter de (p) à (P).
Fonction continue contre fonction dérivée : Voici une série de réflexions sur le fait d'être la dérivée d'une fonction. On y trouve "le coup du triangle" avec une preuve d'un Théorème de Darboux ("la dérivée d'un fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaires"), de la stricte monotonie, et une réflexion fine sur le Théorème des Accroissements Finis. L'exposé termine en montrant la construction d'une fonction dérivée f telle que f^2 n'est pas une fonction dérivée. Six pages intéressantes pour les capétiens et les agrégatifs !
Forme linéaire, forme bilinéaire & proportionnalité : Trois pages de révision de cours et d'exercices.
Intégrer pour mieux dériver : Un texte qui regroupe quelques équations fonctionnelles classiques (partie 1) et un résultat (Partie 2) pouvant illustrer plusieurs leçons d'agrégation interne (fonctions de variables réelles, systèmes linéaires...). Un seul mot d'ordre : intégrer pour mieux dériver.
Loi de réciprocité quadratique, preuve de Zolotareff.
Points fixes dans R : 26 pages sur l'existence et la recherche de points fixes dans R.
Séries à termes positifs et inégalités : Une illustration du lemme de Césaro et de la transformation d' Abel.
Séries de Fourier : Un document de 76 pages où l'auteur choisit les séries de Fourier comme décor, et présente des méthodes d'analyse instructives et essentielles pour mener à bien quelques problèmes classiques ou parfois originaux.
Une preuve moderne du Théorème de d'Alembert-Gauss.
Meilleure approximation affine : Donner du sens à une notion.
Récurrence en dimension finie.