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de Richard Gomez Documents
de Richard Gomez
Classification des courbes algébriques de degré 2 - Le but de cet article est d'étudier les courbes algébriques de degré deux en suivant la méthode du cours de Mikhail Postnikov [Lectures on geometry, éditions MIR]. Cette méthode est à la portée des lycéens puisqu'elle n'utilise pas le théorème de réduction des formes bilinéaires. On donne la classification des courbes de degré deux dans les cas complexes et réel-complexes. On démontre en particulier que les seules courbes réelles de degré deux sont les coniques et les paires de droites. On termine en donnant la classification des courbes projectives de degré deux. Nous expliquons en annexe ce que sont les espaces projectifs de manière élémentaire.
Classification des endomorphismes du plan vectoriel réel - Cet article montre que tout endomorphisme du plan vectoriel réel est la composée d'une homothétie avec soit une projection, soit une symétrie, soit une rotation hyperbolique, soit une rotation elliptique, soit une transvection.
Diagonalisation des matrices symétriques - A quoi sert le produit scalaire ? Cet article montre une application importante du produit scalaire : la diagonalisation des matrices symétriques réelles, hermitiennes et normales.
Formes différentielles et analyse vectorielle - Cet article est destiné aux étudiants en licence de mathématiques préparant un module d'analyse vectorielle. Il peut également intéresser les "matheux" curieux de savoir à quoi ressemblent les lois auxquelles sont soumis les champs électro-magnétique, les fameuses équations de Maxwell. A la section 1 on définit de la manière la plus simple possible la notion de forme différentielle et de dérivée extérieure : le fameux "d". On utilise ensuite d pour définir de manière naturelle le gradient, la divergence et le rotationnel. On donne le théorème de Stokes sans démonstration et on utilise ce résultat pour établir les formules d'Ostrogradski, Green-Riemann, Stokes, Kelvin, formule du gradient et formule du rotationnel. On donne des applications en mécanique des fluides, électricité, diffusion d'une concentration, et propagation de la chaleur. La dernière section est consacrée aux équations de Maxwell. Ce document sera complété (à terme) par une série d'exercices corrigés. Ceux qui veulent aller plus loin dans l'étude des formes différentielles pourront consulter l'article à venir du même auteur.
Formes quadratiques - Cours et applications. 85 pages. Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.
Séries de Fourier - Cours et exercices corrigés. 97 pages. Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.
Structure réelle-complexe - Ceci est un article de synthèse sur différentes situations mathématiques où l'on passe des ooefficients réels aux coefficients complexes, pour ensuite revenir aux réels. On connaît tous les espaces vectoriels réels et les espaces vectoriels complexes, mais on connaît moins les espaces réels-complexes. Ce sont des espaces complexes sur lesquels on a défini une conjugaison et donc des vecteurs réels. Ces structures apparaissent naturellement lorsque l'on introduit des coordonnées complexes. Nous donnons des applications de cette notion à la diagonalisation des matrices symétriques, aux suites définies par une relation de récurrence linéaire, aux équations différentielles linéaires et aux séries de Fourier.
Théorie de la relativité restreinte, épisode 1 - Nous proposons de poser le décor mathématique dans lequel sont écrites les équations de la théorie de la relativité restreinte. Nous montrons ensuite des phénomènes connus depuis la révolution provoquée par Albert Einstein. Nous montrons par exemple que le temps ne s’écoule pas de la même manière pour un observateur au repos et un observateur en mouvement. Nous montrons également que les dimensions d’un objet dépendent de celui qui l’observe, etc.
