Documents de Dominique Hoareau
Dominique Hoareau nous propose de bons documents en analyse pour la préparation à l'agrégation
de mathématiques, et d'autres pépites à découvrir :
- Arithmétique
dans Z
:
Un bien joli document de 28 pages sur l'arithmétique qui
sort des sentiers battus et propose des questions du jury et des
exercices bien sentis.
- Cauchy-Schwarz
par le calcul différentiel : Démonstration
du Théorème du multiplicateur de Lagrange (ou
Théorème des extrema liés), et applications.
Pour la préparation à l'agrégation.
- Convexité,
monotonie, intervalles de R : Des résultats fins sur la
convexité (une fonction convexe est localement
lipschitzienne, raccordement convexe, critère local de
convexité pour une fonction continue...), des passages du
local au global (par exemple un critère local de croissance
d'une fonction continue) et des raffinements subtils. Ces pages
permettent d'approfondir certaines notions d'analyse et d'utiliser
les grand théorèmes in situ. Convient aux agrégatifs
ou pour un approfondissement.
- De
l´individuel au collectif. Revue de quelques théorèmes
d´existence en mathématiques : Un lemme de
Schur affirme que tout endomorphisme d´un espace vectoriel E,
qui stabilise chaque droite de E, est une homothétie. A
l´instar de ce premier résultat, on envisage les
conclusions du type : il existe un objet y tel que, quel que soit
l´objet x, x et y sont reliés par une propriété
P(x,y). On désigne par la majuscule (P) un tel énoncé
et par la minuscule idoine (p) la proposition écrite en
intervertissant dans (P) les quantificateurs ∃ et ∀.
Dans (p), à x fixé, l´objet y créé
est le bien ou la propriété de x. On cherche, dans la
suite du texte, à exhiber des notions ”socialisantes”
qui permettent de remonter de (p) à (P).
- Fonction
continue contre fonction dérivée :
Voici une série de réflexions sur le fait d'être
la dérivée d'une fonction. On y trouve "le coup
du triangle" avec une preuve d'un Théorème de
Darboux ("la dérivée d'un fonction vérifie
la propriété des valeurs intermédiaires"),
de la stricte monotonie, et une réflexion fine sur le
Théorème des Accroissements Finis. L'exposé
termine en montrant la construction d'une fonction dérivée
f telle que f^2
n'est pas une fonction dérivée.
Six pages intéressantes pour les capétiens et
les agrégatifs !
- Forme linéaire, forme bilinéaire & proportionnalité : Trois pages de révision de cours et d'exercices.
- Histoires
de groupes : Un joli
développement sur les groupes pour le CAPES ou l'agrégation, paru dans le vol. I de la revue LMEC et dont on peut lire des extraits ici.
- Intégrer
pour mieux dériver : Un texte qui regroupe quelques
équations fonctionnelles classiques (partie 1) et un
résultat (Partie 2) pouvant illustrer plusieurs leçons
d'agrégation interne (fonctions de variables réelles,
systèmes linéaires...). Un seul mot d'ordre :
intégrer pour mieux dériver.
- Loi de
réciprocité quadratique, preuve de Zolotareff.
- Points
fixes dans R : 26 pages sur l'existence et la recherche de
points fixes dans R.
- Séries
à termes positifs et inégalités :
Une illustration du lemme de Césaro et de la transformation
d' Abel.
- Séries
de Fourier : Un document de
76 pages où l'auteur choisit les séries de Fourier
comme décor, et présente des méthodes
d'analyse instructives et essentielles pour mener à bien
quelques problèmes classiques ou parfois originaux.
- Une
preuve moderne du Théorème de d'Alembert-Gauss.
- Meilleure
approximation affine :
Donner du sens à une notion.
- Récurrence
en dimension finie.