Oral 1 - Leçons

La partie d'exposé du plan et la partie développement sont tenues de rester au niveau du programme de l'épreuve, donc au niveau secondaire. Par exemple, il n'est plus possible de démontrer le théorème des valeurs intermédiaires, mais il sera toujours possible au jury de poser des questions à ce sujet dans la discussion qui suit. Le candidat peut choisir de se placer à un niveau donné pour sa leçon, ou au contraire balayer différents niveaux. Là encore dans la partie discussion, le jury pourra poser des questions relevant d'un autre niveau, voire du supérieur puisque le recul demandé au candidats est celui d'un M1 de mathématiques. Pour cette épreuve, la présidence du jury insiste sur l'organisation des connaissances présentées et la clarté de l'exposé.
Il est essentiel que les notions centrales de l’exposé, y compris les démonstrations, soient parfaitement assimilée par les candidats. En oral 1, on traite des notions au programme, mais la manière de les aborder est celle d’un étudiants de master. On attend des démonstrations. Si un étudiant présente des notions à un niveau post-bac, le jury vérifiera qu’il sait de quoi il parle. En outre, il y a toujours un moment ou le jury demande au candidat d’écrire un énoncé mathématique correct, en rapport avec la leçon, par exemple pour expliciter un théorème ou une définition utilisés.
Le système d'exploitation CAPESOS met à disposition des candidats un outil de capture d'écran sur lequel ceux-ci se jettent. Ainsi, l'exposé est souvent une succession de captures d'écran extraites de manuels, présentées sans recul, articulation ou distanciation. Ce n'est pas ce qui est attendu. Le jury préfère très largement une présentation au tableau (noir ou blanc) bien structurée, correctement hiérarchisé et argumenté plutôt qu'une succession incohérente de captures d'écran. Le jury n'a aucune attente par rapport aux diaporamas : les candidats sont jugés sur le fond.

EXTRAIT du rapport du jury de la session 2023

Déroulement de l'épreuve
Au début du temps de préparation, le candidat tire au sort un couplage de deux sujets. Il choisit l’un d’entre eux et prépare son exposé. Il a à sa disposition un ordinateur lui permettant d’utiliser certains logiciels et d’accéder aux ressources officielles (programmes et documents ressources) ainsi qu’à la bibliothèque numérique du concours. La liste des leçons, régulièrement actualisée, est consultable sur le site du jury. Les attendus sont rappelés au début de cette liste : il est attendu du candidat un exposé faisant une synthèse sur le sujet choisi, sous la forme d'un plan d'étude hiérarchisé et détaillé, qui devra comprendre des exemples et des applications permettant d'illustrer ce sujet.

Plan d'étude hiérarchisé et détaillé de la leçon
Pendant les vingt premières minutes, le candidat expose un plan d’étude hiérarchisé et détaillé de la leçon. Le contenu est en général bien identifié par les candidats et l’on relève très peu de hors-sujet. Le jury regrette cependant un manque d’approfondissement souvent lié à une préparation insuffisante. Certains candidats exploitent les vingt minutes de présentation de manière efficace et pertinente en mentionnant des prérequis et les niveaux correspondant à leur leçon, en précisant le statut des énoncés mathématiques et en alternant entre le plan complet exploré rapidement et des focales portant sur certains points essentiels.
De trop nombreux candidats prélèvent dans les ressources mises à leur disposition des éléments divers qu’ils copient dans un document sans avoir préalablement réfléchi à la structure du plan, ce qui peut engendrer des incohérences ou des répétitions. D’autres reprennent in extenso le cours d’un manuel et ont du mal à s’en détacher, se contentant d’une lecture exhaustive monotone souvent peu maîtrisée. Le jury rappelle que les manuels peuvent comporter des formulations imprécises ou des erreurs.
Un plan hiérarchisé ne se réduit pas à un sommaire ou à une succession de titres, il doit contenir des définitions, des énoncés de théorèmes, définitions et des exercices. Le jury apprécie un déroulé synthétique du plan, permettant de dégager du temps pour le cœur de la leçon autour d’énoncés dont le candidat précise clairement les enjeux en mettant en évidence certaines articulations.
Lors de leur préparation à cette épreuve, les candidats doivent être attentifs au choix des exercices. Ceux-ci peuvent illustrer la leçon, être associés au développement de compétences précises ou à une diversité des tâches. Il est judicieux de croiser plusieurs chapitres d’un manuel, plusieurs niveaux et plusieurs sources. Une sélection d’exercices pertinents et variés en nombre plus réduit est préférable, dès lors que la résolution est maîtrisée, tant sur l’aspect calculatoire que sur la structure logique du raisonnement.

Développement d'un élément significatif du plan
Le jury choisit un élément significatif ou une partie du plan que le candidat est invité à développer. Il s’agit d’apprécier les capacités à rédiger rigoureusement un énoncé mathématique, à présenter une démonstration ou le corrigé d’un exercice. Pour cette partie valorisant la connaissance en profondeur des notions proposées, il n’est pas attendu une idée générale de la preuve, mais sa rédaction complète et détaillée. Le jury peut demander au candidat d’écrire au tableau ce qui aura vocation à devenir la trace écrite des élèves dan leurs cahier de cours. Le jury souligne la bonne gestion du tableau de la part des candidats et a apprécié que les candidats ne restent pas silencieux lorsqu'ils exposent leur développement. Il regrette toutefois le manque de rigueur de certains. Il est notamment attendu d’utiliser à bon escient les quantificateurs et connecteurs logiques.
Le jury a relevé une meilleure maîtrise du raisonnement par récurrence et de sa rédaction. Certains candidats détaillent entièrement leur plan (démonstration rédigée et exemples traités) ce qui laisse peu de choix pour le développement. La stratégie visant à limiter le choix du jury en ne proposant qu’un développement possible ou des exercices élémentaires est à éviter car elle laisse craindre une faible maîtrise du contenu présenté. Certains candidats ont proposé des exercices qu’ils ne savaient pas résoudre ou dont le corrigé projeté d’un extrait de manuel n’était pas maîtrisé. Le jury rappelle que toute propriété énoncée doit pouvoir être démontrée par le candidat et le fait qu’une propriété soit admise dans les programmes n’exonère pas le candidat d’en connaitre la démonstration qui pourrait en être faite à un niveau supérieur.
Lors des deux premiers temps de l’épreuve de leçon, le jury n’intervient pas, ce qui peut déstabiliser certains candidats attendant un retour immédiat ou un avis sur le propos tenu. Il est important pour le candidat de ne pas voir cette épreuve comme un temps de formation. La posture du jury est celle d’une écoute attentive et bienveillante, permettant de prendre la plus grande variété d’informations possibles au travers de critères précis, sans laisser apparaître au candidat tout signe positif ou négatif de jugement.
Le jury apprécie que le candidat s’exprime en se détachant de ses notes et en alternant les supports à sa disposition : support numérique pour une présentation rapide et globale du plan, logiciels pour illustrer des notions, tableau pour éclairer une explication au jury par un schéma ou une formule ou pour rédiger rigoureusement comme on le ferait devant une classe. La variété des supports utilisés à bon escient rend l’exposé dynamique et rythmé.

Entretien avec le jury
L’échange qui suit ces deux temps permet au candidat de justifier la cohérence du plan. Le jury note une certaine aisance à l’oral chez la plupart des candidats, des qualités d’écoute et une bonne réactivité, en particulier pour intégrer les propositions et les éléments d’aide qui sont fournis. Des erreurs sont observées chez de nombreux candidats. S’en rendant compte a posteriori, certains d’entre eux sont déstabilisés. Il convient pourtant de garder à l’esprit que la prestation est évaluée dans sa globalité et que le jury apprécie la capacité des candidats à corriger leurs erreurs.
Il est attendu une certaine prise de hauteur par rapport aux programmes du secondaire, en faisant le lien avec l’approche universitaire d’un sujet. Le recul au niveau de la licence paraît cependant délicat pour un nombre significatif de candidats. Lors de cette épreuve et compte tenu de la diversité des compétences professionnelles attendues chez un enseignant de mathématiques, les attentes du jury sont multiples et l’évaluation prend en compte des critères divers et plus particulièrement :

la maîtrise des compétences mathématiques ;
l’organisation, la clarté et la maîtrise de la langue française ;
l’interaction avec le jury.

Les questions du jury sont volontairement variées pour apprécier la diversité des compétences des candidats. Le jury précise, qu’à ce titre, « jouer la montre « en réécrivant les énoncés ou en répétant des parties déjà évoquées n’est pas une bonne stratégie.
La maîtrise des notions mathématiques est évaluée selon la rigueur à l’écrit et à l’oral, notamment par la désignation correcte et la notation appropriée des différents objets mathématiques en jeu. Lors de nombreuses interrogations, les notions de logique de base (écrire la réciproque, la contraposée, la négation d’une assertion) ne sont pas suffisamment maitrisées, les conditions de validité des définitions et propriétés ne sont que trop rarement évoquées, les différents types de raisonnement utilisés peu connus ou explicités. Les illustrations via Geogebra ou avec un algorithme écrit en Python sont appréciées.

2. LISTE DES LECONS D'ORAL 1 DU CAPES EXTERNE - SESSION 2024
TELEGARGER LA LISTE EN PDF | COMPETENCES MATHEMATIQUES AU LYCEE

Dans la liste ci-dessous, les liens du type [Exposés 2020 / Vol 1] envoient vers des exemples de leçons qui ne pourront pas être apportées avec soi à l'oral du concours. Les liens du type [COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 1 / Edition 2020] envoient vers des munitions utiles pour traiter la leçon correspondante sans aucune référence au CAPES puisque placées dans un environnement plus généraliste avec des réflexions globales, et peuvent donc être apportées avec soi pour les oraux du concours et servir à construire sa propre leçon. Depuis 2022, la collection MATHS AU LYCEE remplace les COMPLÉMENTS THÉMATIQUES et fournissent une aide à la création de sa leçon d'oral 1 sans faire allusion au CAPES et sans proposer de leçon toute faite, pour pouvoir être autorisée en salle de concours le jour J pour préparer son exposé. Une référence du type [MO/Trigonométrie] renvoie vers un fichier contenant du matériel pour aider à préparer sa leçon d'oral. Enfin des indications sont indiquées dans une police de caractère plus petite, après le titre de chaque leçon : elles proviennent du rapport du jury du CAPES externe 2023 mais aussi d'autres sources sérieuses, et seront utiles pour construire sa propre leçon.

Avertissement - L'ensemble de l'épreuve s'inscrit dans le cadre des programmes de mathématiques du collège et du lycée général et technologique. Il est attendu du candidat un exposé faisant une synthèse sur le sujet choisi, sous la forme d'un plan d'étude hiérarchisé et détaillé, qui devra comprendre des exemples et des applications permettant d'illustrer ce sujet.

01. Exemples de dénombrements dans différentes situations. MATHS AU LYCÉE /1 Dénombrement
Il est conseillé de se détacher de la théorie et de donner des exemples pertinents dans différentes situations qui balaient les notions de terminale. Quelques candidats ne se sont pas limités à des applications ou des situations liées aux probabilités. Pour de trop nombreux candidats, le vocabulaire qui figure au programme (permutations, combinaisons, etc.) et l’utilisation du dénombrement pour étudier la loi de probabilité d’une loi binomiale ne sont pas maîtrisés.
02. Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle.
Il est attendu une bonne connaissance du vocabulaire spécifique (univers, événement, événement contraire, cardinal d’un ensemble), de définir une expérience aléatoire et une probabilité, de savoir inverser un arbre de probabilité et d’appliquer et de démontrer la formule des probabilités totales. Il est important de donner des exemples et de donner du sens aux formules données. La définition d’une partition de l’univers n'est pas toujours maîtrisée. Les variables aléatoires discrètes faisant l’objet d’une autre leçon, leur place ne doit pas être centrale ici. Pour cette leçon, le jury a apprécié l’effort de contextualisation historique, ainsi que la donnée d’un programme en langage Python.
03. Variables aléatoires discrètes.
Il est important de définir et de maîtriser les notions en jeu (probabilité, variable aléatoire, indépendance) et de connaître les résultats sur l’espérance et la variance, notamment les propriétés de la somme de deux variables aléatoires. Il est aussi attendu d’un candidat qu’il distingue l’indépendance de variables aléatoires et l’indépendance d’événements, qu’il sache interpréter la variance et l’écart type et qu’il sache démontrer les formules des lois classiques. Le candidat ne doit pas se limiter à la présentation de la loi binomiale, ainsi qu’aux cas où la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs.
04. Variables aléatoires réelles à densité.
Le candidat doit savoir définir ce qu’est une variable aléatoire. Si le cas des variables aléatoires discrètes n’est pas l’objet de la leçon, le lien entre variable aléatoire discrète et variable aléatoire à densité doit être connu. Les candidats doivent distinguer densité de probabilité et fonction de répartition, s’interroger sur l’existence des objets mathématiques introduits (limites, espérance) et avoir des connaissances sur la loi normale. Le jury a apprécié lorsque la convergence des intégrales impropres était évoquée.
05. Statistique à une ou deux variables, représentation et analyse de données.
Cette leçon impose le recours à l’outil numérique. Il est attendu d’aborder l’analyse des données et les couples d’indicateurs, de donner leurs interprétations possibles et d’avoir un recul sur la pertinence des représentations graphiques proposées. Le jury souligne l’importance d’une vision globale pour cette leçon sur l’analyse de données, ne se limitant pas à la description procédurale du calcul des indicateurs. La présentation d’autres types d’ajustements a été apprécié, comme la droite de Mayer et le point moyen, en lien avec le programme de terminale de la voie technologique.
06. Multiples et diviseurs dans N, nombres premiers.
La rigueur dans l’énoncé des définitions, des théorèmes et des propriétés est appréciée. Il est aussi important de proposer des méthodes et de savoir les mobiliser. Ainsi, certains candidats présentent la division euclidienne dans Z, sans savoir l’appliquer à un cas simple. D’autres se trouvent en difficulté pour donner la liste des diviseurs ou donner le nombre de diviseurs, ainsi que pour tester la primalité d’un nombre entier. A contrario, il ne s’agit pas de réduire ces leçons à des méthodes sans prendre de recul ou sans être en capacité d’expliciter les raisonnements. Si l’utilisation de programmes Python est pertinente, il est important de préciser les notions mobilisées et de justifier leur exécution. Se placer au niveau de l’option mathématiques expertes est intéressant et attendu, mais il faut également connaître la manière dont certaines notions sont abordées au collège.
La leçon « Multiples et diviseurs dans N, nombres premiers » est bien limitée à l’ensemble des entiers naturels. Certains ont su présenter et démontrer des critères de divisibilité en complément des critères apparaissant dans les manuels. Le jury remarque que la démonstration de l’infinitude des nombres premiers est généralement bien traitée. Le crible d’Eratosthène a toute sa place dans cette leçon.
07. PGCD dans Z.
Il est attendu des candidats qu’ils soient en capacité de déterminer le PGCD de deux nombres entiers avec des raisonnements différents (algorithme d’Euclide, décomposition en facteurs premiers). La résolution d’une équation diophantienne est rarement menée complètement, les candidats n’identifient pas bien le raisonnement par analyse-synthèse.
08. Congruences dans Z.
Pour cette leçon les candidats doivent savoir si les propriétés exposées peuvent s’énoncer sous forme d’équivalence. Les critères de divisibilité ont totalement leur place dans cette leçon.
09. Différentes écritures d’un nombre complexe. Exposés 2020 / Vol 1
Le jury regrette que la notation de l’exponentielle complexe ne soit pas toujours clairement définie et que les liens entre les différentes écritures ne soient pas explicités. Les leçons sur les nombres complexes nécessitent de savoir démontrer les propriétés simples faisant intervenir module, conjugué, argument et de proposer des exemples d’application mettant en évidence l'intérêt des différentes écritures. Les formules d’Euler et de Moivre ont leur place dans ces leçons, ainsi que leurs applications.
10. Utilisation des nombres complexes en géométrie.
On attend d’un candidat qu’il soit en capacité d’interpréter géométriquement des égalités (médiatrice, points équidistants, appartenance à un cercle, alignement, perpendicularité). Cette leçon conduit à revenir sur certaines transformations du plan. Des candidats ont choisi de préciser en début de leçon la définition de l’ensemble des nombres complexes et de certaines caractéristiques des nombres complexes pour permettre de faire des correspondances avec la géométrie, tout en mettant en avant la plus-value de l’utilisation des nombres complexes.
11. Trigonométrie. MO/Trigonométrie
Des candidats ont su montrer l’évolution des notions et de leurs définitions du cycle 4 à la classe de terminale, en particulier le passage de la notion de cosinus d’un angle aigu à la fonction cosinus. La leçon a conduit à la présentation d’algorithmes d’approximation de π qui ont été appréciés. La tangente et les formules d’addition et de soustraction du cosinus et du sinus ne sont que rarement exposées. Déterminer les valeurs remarquables est difficile pour certains candidats.
12. Repérage dans le plan, dans l’espace, sur une sphère. Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
Dans cette leçon, il convient de ne pas se limiter au niveau collège. On attend du candidat qu’il définisse différents types de repères. Les coordonnées polaires et les nombres complexes sous forme trigonométrique ont toute leur place dans cette leçon.
13. Droites et plans dans l’espace. Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
Le candidat doit savoir définir les objets mathématiques et ne pas se contenter de notions intuitives. Il faut savoir justifier certaines propriétés (parallélisme, orthogonalité, non coplanarité) autrement que par la lecture d’une figure. Le candidat doit être capable de déterminer et représenter l’intersection de deux plans dans des cas élémentaires. Le théorème du toit a toute sa place dans cette leçon. On attend du candidat qu’il maîtrise les différences positions relatives dans le plan et dans l’espace.
14. Transformations du plan. Frises et pavages.
Cette leçon ne doit pas se limiter au niveau collège et doit comprendre des exercices ou des propriétés qui peuvent donner lieu à un développement consistant. On peut par exemple faire intervenir les nombres complexes. Il est indispensable d’aborder les frises et pavages et d’en donner une définition. La connaissance de la composition de transformations contribue à une bonne compréhension des pavages. Le jury a apprécié l’illustration par des figures et l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique.
15. Relations métriques et angulaires dans le triangle.
Cette leçon n’est pas spécifique au collège et doit conduire à s’interroger sur l’articulation entre les définitions proposées au collège et au lycée. Envisager le cas où un triangle possède un angle obtus dans la démonstration du théorème d’Al-Kashi pose des problèmes à de nombreux candidats. Le jury apprécie que les exemples proposés ne se limitent pas à une simple application rapide du cours.
16. Solides de l’espace : représentations et calculs de volumes. Exposés 2020 / Volume 1 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 1 / Edition 2020 |
Cette leçon est souvent présentée de manière trop élémentaire. Un candidat doit-être en capacité de définir les différents solides et de démontrer les formules des volumes (cylindres, pyramides, boules, cônes). Il est utile de faire référence aux patrons des solides et de savoir les réaliser. Des qualités de représentation au tableau ou à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique sont importantes pour bien visualiser les exemples et les applications proposés.
17. Périmètres, aires, volumes.
Des comparaisons entre les périmètres de différentes figures ou entre leurs aires sont bienvenues. Certains candidats n’ont pas d’idées sur la manière de démontrer les formules. Sans en faire le sujet central, la leçon peut inclure la présentation d’exercices ou de problèmes utilisant diverses notions des programmes : suites, intégrales, fonctions, optimisations des aires…
18. Exemples de résolution de problèmes de géométrie plane à l'aide des vecteurs.
Cette leçon ne se limite pas aux applications de la notion de déterminant travaillée en seconde. La notion de produit scalaire offre de beaux problèmes, de même que certaines notions mathématiques proposées en approfondissement des programmes, comme le barycentre. Certains candidats ont posé des problématiques donnant sens aux problèmes proposés et structurant le plan de la leçon.
19. Produit scalaire dans le plan. ~ Exposés 2020 / Volume 1 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 1 / Edition 2020 |
Cette leçon doit naturellement comprendre les propriétés caractéristiques du produit scalaire. Quel que soit le choix initial de la définition du produit scalaire dans le plan, le passage d’une expression du produit scalaire à une autre expression doit être maîtrisé. Les candidats doivent être vigilants à la formulation des pré-requis et à l’ordre des différentes propriétés dans le plan de la leçon. Notamment, la résolution d’un exercice ne doit pas utiliser des propriétés données postérieurement dans le plan. Peu de candidats évoquent le théorème de la médiane qu’il est pourtant intéressant de mettre en lumière ici. La démonstration du théorème d’Al-Kashi est en général bien maîtrisée. Le lien avec la physique peut être davantage mis à profit.
20. Applications de la notion de proportionnalité à la géométrie. Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
La géométrie doit naturellement constituer le cœur de cette leçon. La construction de figures ou l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique sont appréciées. Cette leçon ne se limite pas au théorème de Thalès et aux triangles.
21. Problèmes de constructions géométriques. Exposés 2020 / Volume 1
Si l’entrée par les problèmes est importante, des exemples de constructions sont attendus. La variété des approches de cette leçon la rend riche. Celle-ci peut être illustrée avec
des exemples allant du cycle 4 au cycle terminal. Des raisonnements du type analyse-synthèse sont attendus.
22. Exemples de problèmes d’alignement, de parallélisme. Exposés 2020 / Volume 1 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 1 / Edition 2020 |
Une réflexion est à mener sur la classification des problèmes d’alignement, de parallélisme et
sur l’utilisation pertinente d’outils mathématiques adaptés. Le jury a apprécié les exemples dans le plan et dans l’espace.
23. Exemples de problèmes d'intersection en géométrie.
Pour cette leçon, il est important de s’appuyer sur des définitions claires et rigoureuses pour démontrer les propriétés et théorèmes. La cohérence du plan est un élément important. Le recours aux dessins à main levée a été apprécié, de même que la capacité à raisonner dans des registres différents, ainsi que la proposition de problèmes ne se limitant pas à l’intersection de droites et de plans.
24. Pourcentages et taux d’évolution. MATHS AU LYCÉE /2 Proportionnalité & pourcentages
Cette leçon reste très souvent limitée au programme du cycle 4. Une préparation soutenue devrait conduire les candidats à proposer des applications pertinentes de niveau lycée et à s’appuyer sur leurs connaissances du supérieur. Pour ces leçons, il est attendu des définitions rigoureuses, la démonstration des propriétés utilisées et la justification des méthodes proposées. L’illustration par des exemples contextualisés est appréciable, par exemple l’évocation de situations issues du domaine bancaire, commercial, fiscal. Le taux moyen doit être connu.
25. Problèmes conduisant à une modélisation par des équations ou des inéquations. Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
Cette leçon ne doit pas se limiter à des rappels sur la résolution des équations et des inéquations ou aux équations polynomiales. Les équations diophantiennes, les systèmes linéaires d’équations, ou d’inéquations, les équations différentielles ont toute leur place dans cette leçon. Des situations variées devant conduire à une modélisation sont attendues.
26. Problèmes conduisant à une modélisation par des graphes, par des matrices. ~ Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
Il est intéressant de proposer des problèmes qui ne nécessitent pas de traitement matriciel et d’autres où celui-ci est nécessaire. Il est préférable de proposer quelques problèmes conduisant à une modélisation plutôt qu’une succession d’exercices techniques.
27. Fonctions polynômes du second degré. Équations et inéquations du second degré. Exposés 2020 / Volume 2 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 2 / Edition 2020 |
Il est attendu que le candidat sache factoriser avec des racines évidentes, passer de l’expression développée à la forme canonique, justifier les variations des fonctions polynômes du second degré sans recourir à la notion de dérivation, démontrer les théorèmes énoncés. La résolution dans C est souvent oubliée. L’appui sur des propriétés graphiques a été apprécié.
28. Suites numériques. Limites.
Pour cette leçon, la notion de limite et les théorèmes de convergence ont été peu développés. Il est attendu du candidat de savoir formuler de différentes façons la convergence d’une suite et d’en donner une illustration. Le jury a apprécié la référence à des problèmes mathématiques historiques, comme la méthode de Héron ou la suite de Fibonacci.
29. Suites défînies par récurrence u_n+i = f(u_n).
Cette leçon ne doit pas se limiter aux suites arithmétiques et géométriques. Il est attendu du candidat qu’il sache représenter une suite et qu’il s’appuie sur les propriétés de la fonction f ayant un effet sur la suite. L'entretien avec le jury peut porter sur des méthodes de démonstration qui sortent du cadre des programmes du collège ou du lycée. Le théorème du point fixe est souvent oublié. Les suites arithmético-géométriques et leur étude doivent être connues. Le jury a apprécié la présentation de méthodes en appui sur des représentations graphiques et des algorithmes.
30. Détermination de limites de fonctions réelles de variable réelle.
On attend des candidats qu'ils soient en capacité d’écrire les définitions de la limite et qu’ils développent les autres parties du programme dans lesquelles la notion de limite intervient.
31. Théorème des valeurs intermédiaires.
Dans cette la leçon, proposer un algorithme de dichotomie apporte une plus-value. Le candidat doit être capable de bien cerner les conditions d’application du théorème et de réfléchir à des contre-exemples pour illustrer la nécessité de certaines hypothèses. La démonstration du théorème est un attendu de cette leçon.
32. Nombre dérivé. Fonction dérivée.
Dans cette leçon, comme dans les autres leçons d’analyse, on attend des candidats qu’ils démontrent les propriétés qu’ils utilisent, qu’ils donnent des définitions rigoureuses et qu’ils proposent des applications éclairantes. Les interprétations graphiques sont souvent pertinentes, notamment lorsque le support numérique est utilisé à bon escient, par exemple pour le passage des sécantes à la tangente. La connaissance de quelques fonctions non dérivables en certains points est appréciée. Le jury attire l’attention du candidat sur l’ordre de présentation des propriétés.
33. Fonctions exponentielles.
Le candidat doit aborder, outre la fonction exponentielle de base e, les fonctions exponentielles de base a, avec a>0. Les candidats sont souvent en difficulté pour expliquer le passage de la notation exp(1) au nombre e ou celui de exp(n) pour n entier relatif à exp(x) pour x réel. Il faut être vigilant sur l’ordre de présentation des propriétés.
34. Fonctions logarithmes.
Il convient de ne pas restreindre cette leçon aux seules fonctions logarithme népérien et logarithme décimal, la fonction logarithme de base 2 peut être avantageusement évoquée. Il est attendu de savoir expliquer le lien avec la fonction exponentielle de base a.
35. Fonctions convexes.
Dans cette leçon, certains candidats éprouvent des difficultés à identifier et à différencier le statut des énoncés, à interpréter la notion de convexité ou à proposer des applications pertinentes. Le jury souligne que cette leçon est souvent bien traitée, et précise qu’il faut cependant veiller à la rattacher aux programmes de lycée et être capable d’exposer des applications. La présentation de certains résultats a été appréciée : inégalité de Jensen, inégalité des trois pentes, inégalité de Cauchy-Schwarz.
36. Primitives, équations différentielles.
Il est attendu de maitriser les démonstrations présentes dans le programme du lycée et d’illustrer la leçon par des exemples issus des autres disciplines. Certains candidats se sont trouvés en difficulté pour déterminer une primitive de la fonction ln. La méthode d’Euler a toute sa place dans cette leçon.
37. Intégrales, primitives. Exposés 2020 / Volume 1 | COMPLÉMENTS THÉMATIQUES Vol 1 / Edition 2020 |
Cette leçon doit conduire à exposer clairement le lien entre les deux parties de la leçon et à mener des calculs classiques d’intégrales. Le jury constate souvent des incohérences dans l’articulation du plan. La démonstration des théorèmes exposés est un attendu.
38. Exemples de calculs d'intégrales (méthodes exactes, méthodes approchées).
Cette leçon doit rester centrée sur les méthodes exactes et approchées. Le temps dédié à la définition et aux propriétés de l’intégrale doit être mesuré pour centrer la leçon sur les calculs. Pour cette leçon, l'utilisation de l’outil numérique est un attendu. L’aspect “méthodes approchées” ne doit pas se limiter à la seule méthode des rectangles. Les candidats s’interrogent trop rarement sur la convergence de la méthode et l’estimation de l’erreur.
39. Exemples de résolution d'équations (méthodes exactes, méthodes approchées).
Dans cette la leçon, la méthode de Newton est souvent évoquée ; on doit être en mesure de l’expliquer, de justifier la convergence de la méthode et d’avoir connaissance de l’erreur commise. La référence à l’histoire des mathématiques et la maîtrise des algorithmes présentés sont particulièrement bienvenues.
40. Exemples de modèles d'évolution.
Pour traiter cette leçon de façon pertinente, il convient d’abord de se demander ce qu’est un modèle. Par ailleurs, il s’agit d’une leçon d’exemples. Le jury a apprécié la présentation des graphes et des chaînes de Markov dans cette leçon.
41. Problèmes dont la résolution fait intervenir un algorithme.
Cette leçon est très peu choisie. Les algorithmes présentés doivent apparaître comme méthode de résolution d’un problème posé. Il est apprécié un exposé structuré dans lequel l’usage d’un algorithme est vraiment pertinent. Il ne s’agit pas de recenser des exercices dans lesquels un algorithme est proposé. L’algorithme de Dijkstra a toute sa place dans cette leçon. Alors qu’elle paraît de nature à valoriser les compétences mathématiques des candidats, la leçon
42. Différents types de raisonnement en mathématiques. Exposés 2020 / Volume 1 | Obtenir 16/20 à l'oral 1 en parlant des raisonnements mathématiques ! |
Cette leçon est également peu choisie et sans doute insuffisamment préparée. Elle doit pourtant permettre de présenter des résultats intéressants en précisant de façon claire et rigoureuse les structures logiques des raisonnements proposés. Le jury a observé deux approches différentes : un exposé des différents types de raisonnement illustrés chacun par un ou deux exemples consistants ou bien une présentation de propriétés connues pouvant être démontrées par un certain type de raisonnement.
43. Exemples d'approche historique de notions mathématiques enseignées au collège, au lycée.
Cette leçon est rarement choisie. C’est une leçon de synthèse qui permet pourtant au candidat de valoriser sa prestation par le choix de situations issues de branches diverses des mathématiques et à des niveaux d’enseignement variés. Le jury a pu apprécier des exemples portant sur la construction du nombre, montrant la nécessité d’une notation ou différentes démonstrations d’un même théorème, le lien entre différentes disciplines, etc.
44. Applications des mathématiques à d'autres disciplines.
Cette leçon a mis en exergue la culture scientifique de certains candidats. La partie mathématique doit garder une place suffisante, sans pour autant constituer le cœur de la leçon.

Matériel pour l'oral 1 du CAPES Maths
Fichiers proposés dans cette collection

Trigonométrie