TESTS Raisonnement & Rédaction
Pourquoi bien raisonner & rédiger ?
Paroles de jurys de concours et conseils de rédaction


1. Pourquoi bien raisonner & bien rédiger ? Faire des mathématiques, c'est résoudre des problèmes variés en utilisant des outils et des méthodes variées, mais en raisonnant juste tout le temps. Il faut donc apprendre à raisonner juste. Mais pour communiquer avec les autres, ou simplement pour vérifier si un raisonnement est juste, il faut être capable de le rédiger au propre et de tester sa validité.

La nécessité de bien raisonner et rédiger est aussi primordiale quand on passe des examens, au moment où l'on doit montrer que l'on est capable de produire un texte mathématique juste. Quoi de plus désolant d'avoir trouvé la solution d'une question au brouillon, puis de perdre tous les points dévolus à cette question en proposant une rédaction vérolée ? Un apprentissage s'impose tant que l'on ne se trouve incapable de passer directement d'une solution trouvée au brouillon à une rédaction qui tient la route avec un taux de succès de 90%. Il faut savoir que :
  1. Lors d'un examen ou d'un concours, ce n'est pas la capacité à trouver une solution ou en avoir l'idée qui sera notée, mais uniquement la trace écrite qui sera remise au correcteur à la fin de l'épreuve. Il ne suffit pas d'avoir des idées et des moyens, il faut aussi arriver à les exprimer convenablement par écrit pour proposer un raisonnement sans faille. Le produit fini qui sera jugé est la copie que l'on remet.
  2. Si le candidat est absolument libre d'écrire et d'organiser ses brouillons comme il lui plaît pour chercher une solution et faire divers essais, à la fin de l'épreuve il ne peut pas se contenter de remettre un brouillon sale, un texte bancal ou un développement vérolé par une ou plusieurs erreurs de raisonnement. On peut connaître son sujet et  présenter une copie qui vaut 0 sur 20 : cela arrive tous les jours et c'est désolant. Il faut donc s'entraîner à rédiger efficacement pour montrer au correcteur que l'on a des connaissances solides et que l'on sait raisonner correctement (un must en mathématiques !).
2. Que disent les jurys de concours ? Les jurys de concours ne se trompent pas quand ils mettent les candidats en garde contre toute rédaction approximative. Voici par exemple ce qu'on peut lire dans le rapport du jury du CAPES maths 2020 au sujet de la qualité de l'argumentation et de l'expression écrite :
« D'une manière générale, rappelons qu'il est attendu des candidats une rédaction « experte » et non pas telle qu'un élève pourrait la formuler sur une copie : il s'agit bien de sélectionner de futurs enseignants et non pas de seulement vérifier que les candidats sont capables de résoudre les exercices proposés. À ce titre, il est attendu des candidats :   
- Que, lorsqu'un théorème est cité, toutes ses hypothèses soient vérifiées. Par exemple, pour la question X.1 du premier problème, il était attendu que les candidats justifient l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires par la continuité de la fonction f ; pour les diverses utilisations du théorème de Thalès, il était attendu que les candidats en vérifient les hypothèses (en particulier les hypothèses d'alignement des points, peu vérifiées) et ne se contentent pas d'écrire « d'après le théorème de Thalès », « on applique Thalès », voire simplement « Thalès : ».   
- Que les quantificateurs soient utilisés correctement et à bon escient, en particulier dans la rédaction des preuves par récurrence.  
- Que les notations soient respectées : par exemple, en géométrie, les notations [AB], (AB) et AB sont souvent utilisées indistinctement, ce qui a conduit à des erreurs mathématiques graves, telles que l'apparition de quotients de segments.  
- Qu'une réelle attention soit portée à la grammaire et l'orthographe : on déplore un nombre relativement important de copies truffées de fautes d'orthographe allant jusqu'à rendre la compréhension difficile (« on mais au carré »), sans compter la présence d'expressions incorrectes (« on a que »).  
- Que la rédaction soit lisible et soignée : rappelons que la notation porte aussi sur cet aspect. À ce titre, mettre en valeur les résultats démontrés, accompagner de figures illustratives les questions le nécessitant (en particulier en géométrie), réaliser des figures soignées devraient être la norme. La précision et la concision sont également attendues.   
Certains candidats usent d'expressions telles que « il est clair que » ou « on peut affirmer que » et même parfois, « c'est évident », tout particulièrement en géométrie, sans plus d'argumentation. De telles affirmations ne suffisent pas pour convaincre les correcteurs de la validité des réponses proposées et laissent planer le doute sur l'honnêteté intellectuelle du candidat. »

[Au sujet de la structuration et la présentation des copies, on peut aussi lire :] Si la plupart des copies sont lisiblement et correctement rédigées, faisant par exemple ressortir les résultats obtenus en les encadrant, d'autres auraient mérité davantage d'effort au niveau du soin et de la présentation : les traits doivent être tirés à la règle et les illustrations (courbes, schémas) doivent être soignées et précises (en particulier les noms des axes doivent apparaître).

Sur un autre registre, il est attendu d'un futur professeur qu'il utilise un niveau de langage approprié : des expressions telles que « c'est bon » ou « ok » pour conclure une preuve n'ont pas leur place dans la copie d'un candidat à un concours de recrutement d'enseignants.
Il en est de même pour l'étalage de ses états d'âme lors de la résolution d'une question : des expressions telles que « zut, cette méthode ne marche pas » sont à proscrire.

En l'absence d'épreuves orales à la session 2020, le jury s'est montré particulièrement attentif à la qualité de présentation et d'organisation des copies. L'absence de structuration, les erreurs de numérotation dans les pages qui constituent la copie ou à l'intérieur des différentes questions, le désordre dans lequel les questions sont traitées augurent mal de la capacité future du candidat à concevoir des documents pédagogiques de référence et à organiser efficacement un tableau.

Enfin, l'affirmation sans preuve de résultats qualifiés d'évidences ou l'utilisation du résultat de la question 𝑛+1 pour démonter celui de la question 𝑛 ne manquent pas de laisser au correcteur une impression de tromperie, voire de douter de l'honnêteté intellectuelle du candidat.
Tous les passages en force se révèlent finalement défavorables au candidat. Signalons au contraire qu'il est parfaitement légitime de poursuivre un raisonnement en s'appuyant sur un résultat non démontré mais clairement indiqué comme étant admis. »
3. Quelques conseils pour préparer l'écrit d'un examen ou d'un concours :
  1. S'entraîner sur suffisamment d'exercices et de problèmes en utilisant un brouillon puis en rédigeant son texte en utilisant les mêmes outils (stylos, règle, compas...) que ceux que l'on utilisera le jour J.
  2. Relire sa copie de façon critique, ou la faire relire à un camarade en lui demandant ce qui peut le bloquer ou le choquer.
  3. Tant que l'on se sent incapable d'obtenir une rédaction convenable à partir d'un brouillon et en temps raisonnable, rédiger systématiquement tous les exercices sur lesquels on travaille. Avec le temps, les progrès arrivent, et dès qu'ils sont visibles, ce n'est plus la peine de rédiger à chaque fois : on peut se contenter de résoudre ses exercices au brouillon et de rédiger une fois sur trois pour consolider ses acquis. Puis, quand on se sentira à l'aise, il suffira de rédiger une fois sur 10. Quand le passage du brouillon à la rédaction est acquise avec un taux de succès de 90%, et rapporte à chaque fois au moins 90% des points attachés aux questions rédigées, il est temps de ne plus perdre de temps à rédiger quand on se prépare. On ne rédigera alors que s'il faut remettre une copie, ou pour soi-même si l'on désire conserver une trace écrite de la preuve d'une assertion, ou enfin pour clarifier un raisonnement confus et tenter de décider par soi-même s'il est juste ou faux.