TESTS Raisonnement & Rédaction


Testez-vous sur ces erreurs de raisonnement ou de rédaction. Développez votre esprit critique et votre capacité à découvrir les erreurs d'un raisonnement mathématique et les chausse-trappes d'une rédaction !
Ces tests permettent de s'amuser à déjouer les pièges de l'oral et de l'écrit, ce qui augmente les chances de rédiger convenablement une copie à partir d'un brouillon brut.
 Enjoy mathematics !

Voici des questions-tests issues du livre ERREURS DE RAISONNEMENT & rédactions hasardeuses pour tester sa sagacité :


➤  Fonction affine de R dans R
A l'oral du CAPES, un candidat définit une fonction affine réelle de la variable réelle en écrivant : « Une fonction affine de R dans R est une fonction telle que : 
                                                                                                    f :    R    →    R
                                                                                                           x    ↦    ax+b
avec a et b deux réels. ». Peut-on accepter une telle définition ?
[Réponse]


➤ Définir le plus petit élément d'une suite
Un candidat répond à un jury : « Soit (u_{n})_{n∈N} une suite décroissante de N, comme N est un ensemble bien ordonné, on peut définir le plus petit élément u_{m} de cette suite ». Que répondre au jury s'il demande de redire cette affirmation sans faire aucun abus ?
[Réponse]

➤ Une rédaction gaillarde
Pour calculer une primitive de la fonction 1/x(x-4) sur l'intervalle ]5,+∞[, l'énoncé demande de déterminer des réels a et b tels que 1/(x(x-4)) = a/x + b/(x-4). Comment jugez-vous la rédaction suivante relevée sur une copie : « Déterminons (a,b) ∈ R² tel que :
    1/(x(x-4)) = a/x + b/(x-4)    ⇔    1/(x(x-4)) = (ax-4a+bx)/(x(x-4))
                                            ⇔   {
a+b=0 et -4a=1}
                                            ⇔   {a=-1/4  et b=1/4}.  »
[Réponse]


➤ Erreur mortelle dans la résolution d'une équation
Quand on résout une équation, il est facile de laisser une erreur mortelle qui sape son raisonnement. Pouvez-vous la repérer facilement dans la rédaction suivante : « On doit résoudre l'équation suivante dans R : [ (E):  ((x-5)/(x+1))+(x/(x-2))=3 ]. Pour que les expressions utilisées aient un sens, x doit être différent de -1 et de 2. Dans ce cas (E) entraîne (x-5)(x-2)+x(x+1)=3(x+1)(x-2), ce qui s'écrit successivement :
                        (2x+8)(x-2)-x(x+1)=0
                        2x²+4x-16-x²-x=0
                        x²+3x-16=0.
On est amené à résoudre l'équation du second degré x²-5x+12=0, et l'on trouve x=(-3±√(73))/2 après calculs. »

[Réponse]

➤ Il faut penser à tout
Voici une question posée à l'écrit d'un concours, suivie d'une réponse lue sur une copie. Cette réponse est-elle juste ?
    Question -- Soient y et z deux fonctions continûment dérivables de R dans R. On note y′ et z′ leurs fonctions dérivées. Si y′=z et z′=y, et s'il existe a∈R tel que y(a)=z(a), peut-on affirmer que y=z ?
    Réponse -- C'est faux. Par hypothèse y et z sont dérivables sur R, et l'on a y′=z et z′=y, donc y′ et z′ sont dérivables sur R. Les fonctions y et z sont alors deux fois dérivables sur R. De y′=z et z′=y on déduit y′′=z′=y et z′′=y′=z, donc y et z sont solutions de l'équation différentielle f′′=f. L'équation caractéristique de cette équation différentielle linéaire est λ²=1, ce qui donne λ=±1.
D'après le cours, la forme générale des solutions est y=αe^{x}+βe^{-x}où α,β∈R. Il existera aussi γ,δ∈R tels que z=γe^{x}+δe^{-x}, et la condition supplémentaire y(a)=z(a) s'écrit αe^{a}+βe^{-a}=γe^{a}+δe^{-a}, soit :

    (α-γ)e^{2a}=δ-β.  (C)
Il existe une infinité de quadruplets (α,β,γ,δ)∈R⁴ vérifiant (C). Si par exemple α=1, γ=0, β=0 et δ=e^{2a}, alors y=e^{x} et z=e^{2a}e^{-x} vérifient les conditions de l'énoncé sans être égales.
[Réponse]

➤ Sans peur et sans reproche
Dans un exposé de CAPES sur la proportionnalité, le candidat écrit : « Définition -- Soit un tableau de proportionnalité. Si l'on connaît trois valeurs de deux colonnes du tableau, on peut déterminer la quatrième valeur. Cette valeur est appelée quatrième proportionnelle. ». Peut-on écrire cela sans peur et sans reproche ?
[Réponse]


➤  Etes vous un pro en proportionnalité ?
Dans un exposé sur la proportionnalité un candidat écrit : « Définition - Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut calculer l'une de l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité associé à ces grandeurs. ». Quelle réaction attendre de la part du jury ?
[Réponse]


➤  Esbrouffes dans un livre de seconde
[Réponse]