Programme Argumenté du CAPES (par Dany-Jack Mercier)

...où le programme est débité en rondelles.

Note de l'auteur : Je désirais avancer bien plus avant dans la création de leçons de ce type, mais le temps passe et les priorités changent. Ce n'est plus d'actualité aujourd'hui, et les parties du programme non traitées dans les chapitres ci-dessous n'existent pas encore, et leur sortie n'est pas programmée. Profitez des 8 chapitres suivants, c'est toujours ça.

PAC I - Programme Argumenté du CAPES, Partie I : Généralités sur le langage et le raisonnement mathématiques. Eléments de logique. Ensembles, relations, applications (D.-J. Mercier) (225 Ko, 19 p) : Ce travail se veut une aide à la préparation de l'écrit du CAPES. Il devrait faciliter une lecture approfondie du programme. Les exposés de la série PAC (Programme Argumenté du CAPES) débutent toujours par le rappel d'une partie du programme officiel du concours tel que publié au BOEN (Bulletin Officiel de l'Education Nationale), puis reprennent chacun des items en les détaillant. Le PAC I présente un rappel des notions de relation d'ordre, de majorants et de borne supérieure. Il propose la construction de l'ensemble des entiers naturels (par l'axiomatique ordinale puis par celle de Peano), développe la notion de relation d'équivalence et les thèmes associés comme le passage au quotient, puis exploite ces résultats en présentant une construction de l'anneau des entiers relatifs et du corps des rationnels.

PAC II - Programme Argumenté du CAPES, Partie II : Rudiments de cardinalité (D.-J. Mercier) (138 Ko, 7 p) : Equipotence de deux ensembles, notion de cardinal. Théorème de Cantor (''aucun ensemble n'est équipotent à l'ensemble de ses parties''). Fonction caractéristique d'une partie d'un ensemble ; Equipotence entre l'ensemble des parties d'un ensemble E et l'ensemble des applications de E dans {0,1}. Ensembles finis et infinis. Ensembles dénombrables : exemples usuels. Puissance du continu ; non dénombrabilité de l'ensemble des réels.

PAC IV - Programme Argumenté du CAPES, Partie IV : Structure des ensembles de nombres (D.-J. Mercier) (36 p) : Anneau Z des nombres entiers relatifs (ou rationnels). L'anneau Z est intègre ; divisibilité dans Z. Division euclidienne ; sous-groupes additifs de Q. Les idéaux de Z sont principaux; Théorème de Bezout. Nombres premiers ; décomposition en facteurs premiers. PGCD, PPCM, algorithme d'Euclide. Congruences ; anneaux Z/nZ , caractérisation des éléments inversibles. Corps des rationnels, corps des réels, corps des complexes.

PAC V - Programme Argumenté du CAPES, Partie V : Polynômes à une indéterminée (D.-J. Mercier) (14 p) : Algèbre K[X], divisibilité dans K[X], division euclidienne. Les idéaux de K[X] sont principaux; théorème de Bezout. Polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles. PGCD, PPCM, algorithme d'Euclide. Fonctions polynômes. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme scindé. Théorème de d'Alembert. Factorisation dans C[X] et dans R[X].

PAC XI - Programme Argumenté du CAPES, Partie XI : Réduction des endomorphismes et des matrices carrée (D.-J. Mercier) (18 p) : Sous-espaces stables par un endomorphisme. Polynômes d'un endomorphisme ; Théorème de décomposition des noyaux. Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d'une valeur propre. Théorème de Cayley-Hamilton. Endomorphismes diagonalisables. Sous-espaces caractéristiques. Tout endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est scindé peut être trigonalisé: l'espace est somme directe des sous-espaces caractéristiques. Un tel endomorphisme u s'écrit d'une manière unique sous la forme u=d+n, où d est diagonalisable, n est nilpotent, et nd=dn.

PAC XX - Programme Argumenté du CAPES, Partie XX : Coniques (D.-J. Mercier) (15 p) : Le programme de l'écrit du CAPES Mathématiques contient traditionnellement un paragraphe sur les coniques. Les notes qui suivent devraient permettre de réviser efficacement cette partie du programme tout en ne retenant que l'essentiel. Le plan que j'ai adopté est celui de la partie B-2-V-c) du programme du CAPES pour la session 2002, paru au Bulletin Officiel Spécial n°8 du 24 mai 2001.

PAC XXXIX - Programme Argumenté du CAPES, Partie XXXIX : Etude locale des fonctions (D.-J. Mercier) (20 p) : Relations de comparaison entre fonctions, domination, prépondérance, équivalence. Développements limités, opérations sur les développements limités, Intégration des relations de comparaison au voisinage d'un point ; intégration des développements limités. L'exposé énonce et démontre le Théorème de Taylor-Young qui prouve l'existence d'un développement limité d'ordre n en a pour toute fonction n fois continument dérivable en a. Ce travail, à priori destiné aux candidats du CAPES, pourra aussi intéresser les étudiants de DEUG et des CPGE qui abordent les développements limités et les relations de comparaison.

PAC LVI - Programme Argumenté du CAPES, Partie LVI : Séries de Fourier (D.-J. Mercier) (16 p) : Polynômes trigonométriques, coefficients et série de Fourier d'une fonction 2p-périodique continue par morceaux à valeurs complexes (expression sous forme exponentielle, expression en cosinus et sinus). Sommes partielles de la série de Fourier de f, propriété de meilleure approximation en moyenne quadratique. Lorsque f est continue par morceaux, convergence des sommes partielles de Fourier vers f en moyenne quadratique, et formule de Parseval. Théorème de Dirichlet.