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Cours de niveau DOCTORAL


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Voici une sélection de documents classés par ordre alphabétique.
  1. Algebraic Geometry de J. S. Milne.
  2. Algebraic Number Theory de J. S. Milne.
  3. A quoi servent les matrices ? de D.-J. Mercier.
  4. Codes de Reed-Muller généralisés de D.-J. Mercier.
  5. Construction de l'ensemble des entiers naturels de D.-J. Mercier.
  6. Cours élémentaire d'algèbre linéaire sous forme d'exercices de R. Rolland.
  7. Corps finis de D.-J. Mercier.
  8. Cryptographie classique et cryptographie publique à clé révélée de D.-J. Mercier.
  9. Décomposition d'un groupe commutatif fini de D.-J. Mercier.
  10. Définition des fonctions trigonométriques à partir d'une primitive de 1/(1+t2) de D.-J. Mercier.
  11. Demi-plans, convexité et polygones de D.-J. Mercier.
  12. Ensembles algébriques affines de D.-J. Mercier.
  13. Equations différentielles linéaires de D.-J. Mercier.
  14. Fields and Galois Theory de J. S. Milne.
  15. Formulaire : Intégrales définies, Intégration et sommation des relations de comparaison de D.-J. Mercier.
  16. Formules de Taylor de D.-J. Mercier.
  17. Groupes de Sylow de D.-J. Mercier.
  18. Lectures on Etale Cohomology de J. S. Milne.
  19. Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples simples de dénombrement. Dénombrement des arrangements et des permutations de D.-J. Mercier.
  20. Utilisation de l'algèbre dans les systèmes d'information de D.-J. Mercier.




Lectures proposées par Dominique Hoareau pour l'agrégation en analyse mathématique
Ces développements sur des thèmes d'analyse mathématique conviennent pour la préparation à l'agrégation :

Lectures proposées par Richard Gomez
Le Pack lectures de mathématiques de Richard Gomez intéressera les étudiants en master ou la préparation à l'agrégation de mathématiques. Voici le programme :

   1. Classification des courbes algébriques de degré 2 - Le but de cet article est d'étudier les courbes algébriques de degré deux en suivant la méthode du cours de Mikhail Postnikov [Lectures on geometry, éditions MIR]. Cette méthode est à la portée des lycéens puisqu'elle n'utilise pas le théorème de réduction des formes bilinéaires. On donne la classification des courbes de degré deux dans les cas complexes et réel-complexes. On démontre en particulier que les seules courbes réelles de degré deux sont les coniques et les paires de droites. On termine en donnant la classification des courbes projectives de degré deux. Nous expliquons en annexe ce que sont les espaces projectifs de manière élémentaire.

   2. Classification des endomorphismes du plan vectoriel réel - Cet article montre que tout endomorphisme du plan vectoriel réel est la composée d'une homothétie avec soit une projection, soit une symétrie, soit une rotation hyperbolique, soit une rotation elliptique, soit une transvection.

   3. Diagonalisation des matrices symétriques - A quoi sert le produit scalaire ? Cet article montre une application importante du produit scalaire : la diagonalisation des matrices symétriques réelles, hermitiennes et normales.

   4. Formes différentielles et analyse vectorielle - Cet article est destiné aux étudiants en licence de mathématiques préparant un module d'analyse vectorielle. Il peut également intéresser les "matheux" curieux de savoir à quoi ressemblent les lois auxquelles sont soumis les champs électro-magnétique, les fameuses équations de Maxwell. A la section 1 on définit de la manière la plus simple possible la notion de forme différentielle et de dérivée extérieure : le fameux "d". On utilise ensuite d pour définir de manière naturelle le gradient, la divergence et le rotationnel. On donne le théorème de Stokes sans démonstration et on utilise ce résultat pour établir les formules d'Ostrogradski, Green-Riemann, Stokes, Kelvin, formule du gradient et formule du rotationnel. On donne des applications en mécanique des fluides, électricité, diffusion d'une concentration, et propagation de la chaleur. La dernière section est consacrée aux équations de Maxwell. Ce document sera complété (à terme) par une série d'exercices corrigés. Ceux qui veulent aller plus loin dans l'étude des formes différentielles pourront consulter l'article à venir du même auteur.

   5. Formes quadratiques - Cours et applications. 85 pages.  Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.

   6. Séries de Fourier - Cours et exercices corrigés. 97 pages. Ce cours s'adresse aux étudiants des classes préparatoires, ainsi qu'aux candidats aux CAPES et à l'agrégation interne.

   7. Structure réelle-complexe - Ceci est un article de synthèse sur différentes situations mathématiques où l'on passe des ooefficients réels aux coefficients complexes, pour ensuite revenir aux réels. On connaît tous les espaces vectoriels réels et les espaces vectoriels complexes, mais on connaît moins les espaces réels-complexes. Ce sont des espaces complexes sur lesquels on a défini une conjugaison et donc des vecteurs réels. Ces structures apparaissent naturellement lorsque l'on introduit des coordonnées complexes. Nous donnons des applications de cette notion à la diagonalisation des matrices symétriques, aux suites définies par une relation de récurrence linéaire, aux équations différentielles linéaires et aux séries de Fourier.

   8. Théorie de la relativité restreinte - Nous proposons de poser le décor mathématique dans lequel sont écrites les équations de la théorie de la relativité restreinte. Nous montrons ensuite des phénomènes connus depuis la révolution provoquée par Albert Einstein. Nous montrons par exemple que le temps ne s’écoule pas de la même manière pour un observateur au repos et un observateur en mouvement. Nous montrons également que les dimensions d’un objet dépendent de celui qui l’observe, etc.

   9. A la pêche aux groupes avec Python - A l'occasion de la sortie de son aide-mémoire pour Python 3 aux éditions Ellipses (Le petit Python, mai 2017), Richard Gomez nous propose une récréatoin amusante sur les groupes. Il s'agit d'écrire un programme capable de générer tous les groupes finis à isomorphisme près. Cet article a été publié dans la revue Mathématice et sur le site MégaMaths.
Résumé- La structure d'un groupe est contenue dans sa table de Pythagore. Si on numérote les éléments d'un groupe fini d'ordre n, cette table s'identifie naturellement à une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans {1,...,n}. Il est clair que dans une telle matrice, chaque ligne et chaque colonne est une permutation de (1,...,n). Dans le présent article, une telle matrice est appelée sudoku. Il est facile d'écrire un programme en Python générant tous les sudokus d'un ordre donné, mais attention : un sudoku quelconque ne définit pas forcément un groupe. En revanche, si la loi interne définie par un sudoku est associative, alors on a affaire à un groupe. Tester une matrice pour savoir si elle est associative n'est pas difficile. Nous proposons ici un programme capable de trouver tous les sudokus associatifs d'ordre inférieur ou égal à 6 (au-delà, les calculs prennent trop de temps). Notre programme fait ensuite un tri : il ne garde qu'un groupe par classe d'isomorphisme. Au final, on se retrouve avec la liste complète des groupes d'ordre au plus 6, à isomorphismes près.



Lectures conseillées par MégaMaths
    





Soigner ses douleurs tout seul




Le point sur les trigger points

Comment définir un trigger point ? Pourquoi cela est-il si important ?
Quand le myofascia change de consistance, il produit des nodules de fascia durci et tendu. Le myofascia durcit à un endroit très spécifique, il peut coincer des nerfs, resserrer des vaisseaux sanguins et bloquer les vaisseaux lymphatiques. Donc, les trigger points peuvent causer une multitude de symptômes. Le muscle en santé travaille toujours en harmonie avec un autre pour que le mouvement soit fluide. Donc, lorsqu’un muscle se contracte, un autre doit s’étirer. Les muscles doivent se maintenir en activité pour rester en santé et assurer leur bon fonctionnement. Une activité musculaire constante assure une bonne fluidité des liquides qu’ils contiennent.
Les muscles doivent ainsi avoir un bon échange entre les nutriments, l'oxygène et les déchets. Les nutriments, l’oxygène et les déchets doivent traverser le myofascia. Donc, quand le myofascia est devenu durci et qu’il s’est épaissi, les déchets s’accumulent et les muscles reçoivent peu de nutriments et d’oxygène. Quand les déchets (qui sont de l’acide lactique) s’accumulent, le muscle et les nerfs deviennent irrités. Les nerfs irrités signalent au cerveau qu’il y a un problème, ce qui cause un stress supplémentaire. Alors, le myofascia devient de plus en plus épais. Ceci cause un cercle vicieux qui fait en sorte que le corps expérimente encore plus de stress.
Quand le corps est en tension soutenue, le myofascia provoque de plus en plus de douleur et cela irrite les nerfs sensitifs et moteurs. Plus il y a de douleur, plus le myofascia devient tendu (c’est comme une forme de protection). Quand le muscle est en constante tension, il travaille même s’il est au repos. Donc, un muscle sous tension demande plus d’oxygène et de nutriments et produit donc plus de déchets qu’un muscle sans tension. Cela crée dans le myofascia ce que l’on appelle un trigger point. Les trigger points se forment durant notre vie comme une réponse à un ou plusieurs traumatismes (stress) tel que l’usure, les mouvements répétitifs, les blessures sportives, les virus, une mauvaise posture, une chirurgie, la surtension, le stress émotionnel, les problèmes articulaires, etc…

Peut-on distinguer des types différents de trigger points ?
Il y a les trigger points Actifs, passifs, primaires et secondaires. Tous les trigger points sont associés à un dysfonctionnement, mais seulement les trigger points actifs sont associés à la douleur référée, tel que démontré sur les images des trigger points. Les trigger points primaires et secondaires peuvent être actifs ou passifs.
  • Les trigger points actifs sont vraiment douloureux à la palpation et sont associés à une douleur existante et à d’autres dysfonctionnements. Ils peuvent varier en irritabilité (associés avec une variation des symptômes) d’heure en heure et de jour en jour. La sévérité et la prolongation des douleurs référées dépendent de l’irritabilité du trigger point et non sur sa grosseur ou sur la grosseur du muscle affecté. Un trigger point actif peut devenir passif (latent) après un soulagement de celui-ci, tel le repos ou bien une thérapie inadéquate.
  • Les trigger points passifs sont moins douloureux à la palpation. On peut les retrouver sur des patients normaux et ils sont associés à des restrictions de mouvement, et à une faiblesse et une fatigue dans la région des muscles affectés. Les muscles apprennent à éviter les mouvements douloureux (comme une forme de protection). Les trigger points passifs peuvent facilement être activés par plusieurs facteurs, surtout lors d’un étirement excessif, et peuvent par la suite déclencher une douleur aiguë ou un dysfonctionnement. Plus les muscles sont en forme, plus il sera difficile d’activer les trigger points passifs.
  • Les trigger points primaires sont les résultats directs d’une blessure physique, d’une irritation locale suite à une maladie causée par un virus ou un problème d’ordre environnemental qui ont un impact sur les tissus myofasciaux. Un trigger point primaire, causant de la douleur, augmente le stress musculaire dans un autre muscle et produit un ou plusieurs trigger points secondaires dans le même ou d’autres muscles.
  • Les trigger points secondaires se développent à cause des douleurs référées par un trigger point actif. Les trigger points sont habituellement initiés par un traumatisme direct sur les muscles affectés. Des muscles fatigués ou en mauvaise forme sont très disposés aux blessures et les trigger points peuvent facilement se développer dans ceux-ci.

Comment trouver des trigger points ?
La détection des trigger points se fait par une palpation attentive des tissus du corps en recherchant des points extrêmement douloureux à la palpation. À chaque fois que le trigger point est pressé, on demande au patient ce qu’il ressent. À moins que le trigger point ne soit très actif, le patient n’est pas au courant de son existence ou de sa location jusqu’à ce qu’il soit palpé. Lorsque l’on palpe un trigger point, on ressent comme un genre de nodule entouré de cordon tendu. Occasionnellement, le muscle affecté peut être spasmé. Si le myofascialogiste pince un trigger point actif ou passe directement dessus en glissant ses doigts, le patient peut avoir un sursaut local ou généralisé (cela désigne que l’on est dessus).
Écraser et pincer un trigger point actif déclenche une douleur référée dans la région problématique. Les trigger points passifs ont des caractéristiques similaires, mais sont moins douloureux et ne réfèrent aucune douleur. Ils font mal seulement où l’on appuie la pression. La relation anatomique entre les trigger points et les douleurs référées sont très spécifiques et une connaissance détaillée de leurs relations peuvent grandement nous aider à prédire la localisation des trigger points actifs et les endroits spécifiques des douleurs référées.

Qui a initié le travail rechercher sur les trigger points ?
Les images des trigger points et leurs douleurs référées sont le fruit d’un travail ardu de Mme Janet Travell médecin. Elle a consacré sa vie à étudier les trigger points et à dessiner les images qui nous sont un outil indispensable pour comprendre d’où viennent les douleurs et en connaître l’origine. Mme Travell est une pionnière et l’autorité en matière de trigger points. Elle a été le médecin personnel du Président John F. Kennedy durant les années 60. Après la mort de celui-ci, elle a traité les membres de la maison présidentielle pendant plus de dix ans.

(Texte de Jean-François Brabant [1], [2])
Livre fondamental conseillé sur les trigger points :  celui des Dr Clair et Amber DAVIES.