LMEC Lectures sur les Mathématiques, l'Enseignement et les Concours, volume 1

1. Laurence Chélamie : L'apprentissage de l'autonomie devant un énoncé mathématique en classe de sixième.
    En entrant en sixième, l'enfant découvre un nouveau contrat avec les professeurs, doit acquérir de nouvelles habitudes et conquérir plus d'autonomie. Mais comment permettre aux élèves d'être plus autonomes et directifs devant un problème mathématique ? Quelles activités peut-on construire pour faciliter ce « passage à l'acte » nécessaire chez nos élèves ? Que répondre quand ceux-ci se contentent de clamer : « Madame, je ne comprends pas ! » ? Cet article, tiré d'un mémoire professionel présenté en juin 2003 à l'IUFM de Guadeloupe, nous offre des pistes de réflexion sur l'enseignement des mathématiques en classe de sixième, tout en décrivant et analysant des expériences pédagogiques réelles vécues dans une classe.

2. Dominique Hoareau : Histoires de groupes.
    Voici un document de synthèse sur les groupes finis que l'on aura plaisir à parcourir. Il regroupe du matériel utile si l'on désire passer un concours comme le CAPES ou l'agrégation, et permet de mettre en oeuvre des techniques spécifiques dans les démonstrations comme les passages aux quotients, l'utilisation du premier théorème d'isomorphisme ou l'emploi du centre d'un groupe.
    Une attention particulière a été portée aux groupes de permutations. La section 2.7 propose de tirer avec remise deux éléments d'un groupe fini non commutatif G, et de calculer la probabilité P(G) pour que ces deux éléments commutent entre eux (théorème de Dixon). Enfin la dernière section explicite la structure de certains groupes (groupes d'exposant 2, groupes diédraux, groupes d'ordre pair ou d'ordre 2p avec p premier impair, théorème de Cauchy) d'une façon toujours attayante et en établissant de nombreux parallèles.
    Pas moins de 25 exercices sont proposés, le plus souvent avec une solution développée.

3. Dany-Jack Mercier : Introduction aux espaces projectifs, preuves des théorèmes de Pappus et de Desargues, dualité.
    Voici une introduction aux espaces projectifs. Après avoir rendu compte du lien intime qui existe entre les espaces affines et les espaces projectifs, on définit une topologie sur le projectif, puis on justifie l'emploi de ces espaces en montrant que ce cadre de travail simplifie les démonstrations des théorèmes de Pappus et de Desargues en nous évitant d'avoir à envisager les nombreux cas particuliers qui apparaissent très vite en géométrie affine. On achève cette incursion projective en montrant comment la dualité permet de déduire mécaniquement des énoncés de théorèmes, et en nous intéressant aux homographies. Le lecteur qui désire atteindre rapidement les preuves des théorèmes de Pappus et Desargues peut sauter la Section 3.6..
    Cet article convient parfaitement pour découvrir les espaces projectifs. Il devrait aussi permettre aux candidats aux CAPES et aux agrégations de prendre du recul en leur donnant l'occasion de :
    - mettre en oeuvre des résultats vectoriels classiques,
    - compléter une culture mathématique générale,
    - mieux comprendre deux jolis théorèmes dans des environnements géométriques différents.

4. Dany-Jack Mercier : Polyèdres eulériens et solides pathologiques.
    La formule S-A+F=2 concernant des polyèdres, proposée par Leonhard Euler en 1750 sans qu'il soit capable d'en donner une preuve rigoureuse, attendra 1794 pour être démontrée par Adrien Marie Legendre. Dans cet article, nous voulons préciser son champ d'application, imaginer des contre-exemples, et retourner sur deux preuves classiques bien jolies : celle de Cauchy et celle utilisant la même relation s-a+f=2 vraie pour des graphes connexes. Cette petite incursion dans le monde des polyèdres s'achèvera avec la preuve de l'existence de seulement cinq polyèdres réguliers, encore appelés "solides platoniciens" ou "polyèdres parfaits".

5. Robert Rolland : Outils élémentaires de l'analyse.
    L'analyse est un secteur très large de l'activité mathématique. Développée à partir du XVIIe siècle, elle a été essentiellement centrée sur le calcul infinitésimal jusqu'à la fin du XIXe siècle. Cette partie s'occupe des nombres et des fonctions en tant que tels, des bonnes approximations de ces objets et des outils de dérivation et d'intégration qui pemettent d'opérer sur eux et même éventuellement de les définir.
    À partir du XXe siècle, l'analyse fonctionnelle, qui considère qu'une fonction est un point d'un ensemble de fonctions, avec tous les aspects géométriques qui s'y rattachent, s'est developpée, principalement pour la résolution des problèmes aux limites des équations différentielles et intégrales.
    Nous présentons ici un texte libre qui donne quelques idées élémentaires sur les outils de base et leurs utilisations dans le cadre du calcul infinitésimal. Nous insistons sur l'emploi simultané de techniques différentielles et de techniques intégrales, le tout relié bien entendu par le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.
L'aspect analyse fonctionnelle n'est pas abordé, tout au moins comme objet central d'étude.

6. Jean-Etienne Rombaldi : Accélération de la convergence des suites réelles.
    Jean-Etienne Rombaldi nous propose un exposé clair et bien structuré sur la rapidité de convergence des suites et sur quelques procédés d'acélération de convergence. Agrémenté de 19 exercices proposés avec leurs solutions, ce travail représente un moyen de s'entraîner sur ce thème pour les écrits des concours et d'aborder une leçon d'oral du CAPES externe encore présente à la session 2008 des épreuves (et dont le libellé exact est : "Exemples d'étude de la rapidité de la convergence d'une suite réelle (u_{n}) vers une limite ℓ : cas où |u_{n}-ℓ| est dominé par n^{-a}, par qⁿ... L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.").

7. Arnaud de Saint Julien : Matrices toutes puissantes.
    Dans la RMS d'octobre 2005, Gabriel Dospinescu pose la question Q535 : déterminer les matrices carrées A telles que pour tout n∈N*, il existe une matrice B à coefficients rationnels telle que A=Bⁿ. Nous allons répondre à cette question mais aussi proposer quelques prolongements.
    Dans tout l'exposé, K désigne un corps commutatif. Une matrice carrée A est dite toute puissante sur K (en abrégé TPK), si pour tout n∈N*, il existe une matrice B à coefficients dans K telle que A=Bⁿ. On remarque déjà qu'une matrice toute puissante sur K est nécessairement à coefficients dans K.
    L'objectif de cet article est de déterminer les matrices toutes puissantes dans le cas où K désigne C, R, Q ou un corps fini.

    Voici le premier numéro d'une revue dédiée aux mathématiques, à l'enseignement et aux concours. Vaste programme s'il en est, cet espace de liberté est ouvert à tous les collègues de la maternelle à l'université qui désirent partager leurs travaux pour donner à ceux-ci une visibilité supplémentaire et les proposer aux lecteurs avertis. Les thèmes abordés dans cette revue se veulent libres et variés.

    En me lançant dans ce projet de publication, ma première idée était de donner la parole aux praticiens des mathématiques, à tous mes collègues qui vivent leur science au jour le jour devant des élèves, en leur proposant un espace où ils pourraient s'exprimer en direction de tous ceux qui désirent lire de beaux textes mathématiques, qui veulent réfléchir sur les divers aspects de notre métier d'enseignant, ou qui préparent des concours et cherchent aides et munitions sous la forme d'exposés ciblés et suffisamment détaillés sur des thèmes fondamentaux.

    Mon expérience de webmestre de MégaMaths m'a montré qu'un bon nombre de "perles", de travaux intéressants faits par des collègues, ne sont pas diffusés largement ou, s'ils le sont sur internet, font rarement l'objet d'une publication officielle. C'est dommage, car même si la mise en ligne sur internet est un outil remarquable et simple de mise à disposition de l'information, la publication traditionnelle, avec ses besoins de présentation minutieuse et de relectures répétées, demeure le moment où la publication "prend date" et se trouve définitivement prise en compte par la communauté. Aller jusqu'à la publication physique d'un livre, c'est aussi proposer aux lecteurs un outil de travail bien réel qu'il pourra avoir plus envie d'utiliser.

    Cet espace est un espace de liberté où nous nous retrouvons entre "aficionados" : auteurs et lecteurs. Ici seul le contenu et les idées importent, sans qu'il soit nécessaire de suivre une ligne imposée ou de se plier à une quelconque mode forcément passagère.

    Ce premier numéro propose 7 articles. Le premier est un article de didactique qui montre le travail d'un professeur dans sa classe de sixième, et les six autres sont des articles de fond qui intéresseront en particulier les candidats aux concours qui désirent réviser un thème et s'entraîner sur des exercices corrigés. Voyons cela plus en détail :

    ▶ Dans "L'apprentissage de l'autonomie en sixième", Laurence Chélamie nous montre, exemples à l'appui, comment un professeur de collège peut espérer rendre ses élèves plus autonomes et directifs devant un problème mathématique. L'objectif est bien de motiver un authentique "passage à l'acte" pour qu'un élève de sixième ne se sente plus démuni devant un texte mathématique qui lui est proposé.
    Comment lui donner des schémas de réaction ? Quels objectifs doit-on choisir ? Quelles activités peut-on imaginer dans sa classe pour atteindre ces objectifs ? Autant de questions qui méritent d'être posées et qui le seront, de façon toujours très sensible, dans cet article.

    ▶ Ensuite nous laisserons notre collègue et pédagogue Dominique Hoareau nous raconter des "Histoires de groupes". Son article de synthèse permet de survoler en quelques pages une bonne partie de tout ce que l'on doit connaître sur les groupes quand on prépare un concours de recrutement.
    Les structures algébriques ont été une des conquêtes du vingtième siècle, et les groupes tiennent une place de choix dans ces structures. L'exposé est bien mené et motivant !

    ▶ Je vous propose ensuite de plonger dans un espace projectif pour aller voir comment démontrer d'un seul coup deux jolis et très classiques théorèmes d'alignement, les théorèmes de Pappus et de Desargues, qui n'ont rien perdu de leur fraîcheur malgré les siècles !
    Démontrer ces résultats sans devoir nous placer dans chacun des six cas de figures possibles est une bénédiction.
    Mais pour ce faire, il est nécessaire de bien introduire les espaces projectifs et de montrer en quoi ils peuvent nous intéresser en géométrie classique. J'ai donc insisté sur la description du lien entre espaces projectifs et espaces affines, et sur toute la mécanique du travail "en coordonnées projectives" une fois que l'on a choisi un repère projectif.
    Aucune connaissance préalable des espaces projectifs n'est demandée. Il suffit de connaître un peu d'algèbre linéaire pour pouvoir lire cet article. La fin de l'exposé profite de l'investissement que nous avons consenti pour parler :
      - des théorèmes duaux (qui se déduisent mécaniquement d'autres théorèmes en échangeant les rôles des points et des droites),
      - des homographies et du lien avec les fonctions homographiques de R dans R.

    ▶ Le quatrième voyage se passe au pays des solides pathologiques et donc de la célèbre formule d'Euler S-A+F=2 conjecturée en 1750 et démontrée rigoureusement en 1794 par Legendre. La preuve de cette formule sera donnée en utilisant des graphes connexes.

    ▶ L'article de Robert Rolland est un article de fond sur l'analyse, ses outils de base et leurs utilisations dans le cadre du calcul infinitésimal.
    L'auteur sait magnifiquement nous intéresser tout au long de cette pérégrination : accroissements finis, points fixes, méthode de Newton, intégration, interpolation... Le panorama qui se dégage nous permet de mieux prendre conscience des enjeux et des objectifs de cette partie des mathématiques.

    ▶ Jean-Etienne Rombaldi nous propose ensuite une étude sur "l'accélération de la convergence des suites réelles".
    Toutes les définitions sont clairement précisées (convergence lente, géométrique de rapport λ, rapide, super-linéaire) et commentées. Pas moins de 19 exercices sont livrés avec une correction complète et serviront d'entraînement pour les candidats aux concours.
    L'article, qui s'achève sur la description des procédés d'accélération d'Aitken et de Richardson, a le mérite de proposer un exposé cohérent et précis sur un sujet qui n'est pas souvent traité dans la littérature bien que présent dans le programme de l'oral du CAPES (session de 2008) et donc aussi dans celui de l'agrégation.

    ▶ Et nous arrivons à la dernière étude proposée par Arnaud de Saint Julien. Notre collègue, enseignant en CPGE, se propose de déterminer toutes les matrices carrées "toutes puissantes" sur un corps K lorsque K est C, R, Q ou un corps fini F_{q}, c'est-à-dire toutes les matrices carrées A telles que, pour tout n∈N^{∗}, il existe une matrice B vérifiant A=Bⁿ.
    Cette étude spécialement bien menée est l'occasion de reparler de la réduction des endomorphismes et d'utiliser la décomposition de Dunford.
    Beaucoup de jolis résultats sont mis en valeur et utilisés, comme ce raffinement de la surjectivité de l'exponentielle complexe qui s'énonce : "Pour toute matrice M de GL_{p}(C), il existe un polynôme P de C[X] tel que M=exp(P(M))" dont on propose deux preuves totalement différentes, l'une en utilisant la décomposition de Dunford et le Théorème de Cayley-Hamilton (Lemme 7.2) et l'autre, très élégante, qui utilise des arguments topologiques (exercice 7.3).
    Cerise sur le gâteau, la dernière section propose quatre exercices originaux et bien jolis qui mettent en oeuvre des résultats importants.

       Voilà qui clôt ce petit tour d'horizon du volume I.

       Je voudrais terminer en remerciant chaleureusement tous les contributeurs de ce numéro, et je dois dire que, malgré le temps et la sueur que cela m'a coûté, j'ai pris suffisamment de plaisir à lire ces articles tout en les formatant pour qu'ils entrent dans ce recueil aux normes imposées... pour recommencer l'aventure prochainement pour un second volume.

       Je voudrais aussi signaler que j'ai entrepris ce travail dans le cadre du CRREF (Centre de Recherche et Ressources en Education et Formation de l'IUFM de Guadeloupe) auquel je fais partie.

       Je lance enfin un appel aux collègues qui voudraient me proposer un article en leur demandant de prendre simplement contact avec moi par mail
(dany-jack.mercier@univ-ag.fr). Bien entendu vous pouvez aussi me contacter pour me faire part de vos remarques au sujet du volume que vous avez entre les mains.

    Bonne lecture !

Pointe-à-Pitre ce 26 janvier 2009
Dany-Jack Mercier

Ce jeudi 29 avril 2010, de Jean : J'ai commencé le chapitre sur la géométrie projective, je ne sais pas s'il s'agit de la fatigue ou non, mais un détail m'est revenu en tête à l'instant (et je n'aurai pas accès au livre avant la fin de semaine). Il me semble que dans l'Introduction, vous notez P(E) comme la réunion de E et de D (la droite à l'infini). C'est la "définition" de Desargues du plan projectif.
Dans le deuxième partie, Définitions P(E) est l'espace projectif standard de dimension n pour E de dimension n+1. On baisse la dimension d'un degré, là encore, très intuitif.
Mais si ces deux souvenirs sont corrects (pas le livre sous les yeux), la notation P(E) ne désigne pas la même chose dans les deux parties alors... Si oui, est-ce voulu...? Sinon, désolé de ne pas avoir compris quelque chose (auquel cas j'aimerais comprendre ce que je n'ai pas compris...) Vous insistez sur l'intuition agréable dans la deuxième partie mais si je "visualise" les deux situations, j'ai la un "disque de rayon infini" avec une demi-droite d'un côté et une droite de l'autre. Les dimensions ne sont pas les mêmes, les objets non plus... (J'avance ces arguments pour que vous compreniez mon erreur si tel est le cas...). (...)
djm : Ils s'agit de représentations différentes d'un même objet. La première représentation dont vous parlez est agréable, et facile à "dire", mais ne mène pas bien loin au niveau théorique. On a besoin d'être plus précis et de donner des définitions (et des preuves) rigoureuses... C'est l'utilisation des espaces vectoriels de dimensions légèrement plus grandes qui permet de définir un nouvel objet, et c'est beaucoup plus loin dans l'article que j'espère donner les moyens pour faire le lien entre les deux points de vue, pour nous apercevoir qu'il s'agit "de la même chose". C'est spécial, mais si vous continuez dans l'article, je pense que vous y verrez plus clair...