La collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose des développements courts et ciblés sur des thèmes intéressant les étudiants de licence, les candidats aux concours de recrutement de l'éducation nationale, et tous ceux qui possèdent une certaine culture mathématique et désirent approfondir un sujet particulier dans des délais restreints. Chaque fascicule de cours de cette collection précise les connaissances de base sur un thème donné pour faire rapidement le point, tandis que les recueils de problèmes permettent de continuer l'entraînement sur des questions choisies pour être raisonnables. Les volumes déjà parus figurent sur le tableau ci-dessous. Un clic sur la couverture vous mènera au volume en question.





Le tableau suivant permet de repérer rapidement l'adaptation d'un thème avec la formation envisagée : une case verte montre que le thème correspond au niveau affiché. N'oubliez pas qu'il est toujours facile de me poser directement une question en m'envoyant simplement un mél à l'adresse dany-jack.mercier@hotmail.fr. Si vous lisez un de ces livres, je serais heureux d'avoir un retour, une critique quelle qu'elle soit, et de lire un commentaire sur les pages d'Amazon de ces travaux !

#	Titre	CAPLP	CAPES	Licence	Agrégation
1	Méthode des moindres carrés
2	Dualité en algèbre linéaire
3	Probabilités
4	Introduction à l’algèbre linéaire
5	Déterminants & systèmes linéaires
6	Les grands théorèmes de l’analyse
7	Les raisonnements mathématiques
8	Réduction des endomorphismes
9	Mathématiques et codes secrets
10	Codes correcteurs d’erreurs
11	Loi normale, échantillonnage et estimation
12	Corps finis
13	Formules de Taylor et dév. limités
14	Construction des nombres
15	Problèmes d'algèbre linéaire
16	Problèmes de réduction d'endomorphismes
17	Problèmes d'algèbre
18	Problèmes de coniques
19	Problèmes de formes bilinéaires symétriques
20	Problèmes d’espaces affines
21	Problèmes d’arithmétique
22	Problèmes de topologie élémentaire
23	Problèmes de probabilités
24	Problèmes de géométrie euclidienne
25	Cours d’arithmétique élémentaire
26	Problèmes d’isométries
27	Problèmes de similitudes
28	Problèmes d’analyse
29	Que retenir sur les équations différentielles ?
30	Erreurs de raisonnement

• redéfinir les espaces vectoriels et revisiter les définitions classiques ;
• rappeler comment la relation d'équipollence a permis de faire surgir historiquement le concept de vecteurs ;
• réviser les notions de sous-espaces vectoriels engendrés et de somme de sous-espaces ;
• rappeler et démontrer les deux théorèmes fondamentaux de la théorie que sont le théorème de la base incomplète et le théorème de la dimension ;
• organiser ses connaissances autour de résultats classiques et primordiaux, en pistant des résultats utiles pour chercher et rédiger des problèmes d'annales ou répondre à des questions simples qui viseraient à déterminer si l'on connaît parfaitement les bases ;
• revoir ce qu'il faut connaître par coeur sur les applications linéaires, la décomposition canonique d'une application linéaire, le théorème du rang et ses conséquences ;
• réviser ce que l'on doit savoir sur le bout des doigts quand on parle de projections, de symétries vectorielles ou d'homothéties vectorielles.

- Raisonner directement en déduisant systématiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de procéder, même s'il s'avère judicieux de casser ce schéma pour permettre d'être plus créatif, par exemple en commençant par la conclusion.
- Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le suggère un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux.
- Un contre-exemple suffit pour infirmer une propriété présentée comme générale.
- Raisonner par contraposée peut être utile, mais l'intérêt majeur de la prise de la contraposée d'une implication réside plutôt dans la capacité de réécrire une affirmation de façon totalement nouvelle et insoupçonnée.
- Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contraposée en offrant plus de souplesse et de liberté. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aimé quand il s'agit d'écrire une démonstration.
- Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synthèse tant celui-ci permet de débuter une recherche tout en offrant une méthode de construction des objets auxquels on s'intéresse.
- En dernier lieu, on étudiera le raisonnement par récurrence qui donne un sens à des propositions qui touchent à une infinité de déclarations.

 Un dernier chapitre s'intéresse à l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la démonstration. L'apprentissage du raisonnement devrait être l'un des objectifs principaux de l'enseignement des mathématiques, conjointement à l'acquisition de tout un panel de savoirs structurés construits sur des résultats que l'on aura démontrés, ou du moins justifiés de la façon la plus rigoureuse possible à un niveau d'enseignement donné.

9. MATHEMATIQUES ET CODES SECRETS - La cryptographie n'a jamais été aussi présente dans notre vie de tous les jours, tout en sachant rester discrète. A travers elle, ce sont des mathématiques qui sont mises en oeuvre dans tous les appareils et les systèmes qui nous entourent aujourd'hui.
Beaucoup de lycéens demandent à leurs professeurs à quoi servent les mathématiques et s'il est utile de passer autant de temps à les étudier. Pour beaucoup, faire des mathématiques revient à couper les cheveux en quatre et ne les concerne pas. On peut d'ailleurs comprendre qu'en tant qu'utilisateurs et consommateurs, on puisse se contenter d'enfoncer des boutons et de poser les doigts sur des écrans tactiles pour obtenir par magie ce que l'on désire.
Qui peut imaginer qu'il utilise l'une des plus grandes découvertes en cryptographie au XXe siècle quand il insère sa carte bancaire dans le terminal d'une caisse de supermarché ? Qui se rappelle que des mathématiques sont mises en oeuvre chaque fois qu'il se connecte à un site internet sécurisé signalé par le texte « https » ? Qui enfin se rend compte que la moindre de ses communications sur son Smartphone utilise de l'algèbre, des anneaux de congruences, des corps finis, des matrices, et beaucoup d'arithmétique, et que les algorithmes qui en résultent forment autant de passerelles qui codent et décodent des milliards de messages en des temps records ? Que se passe-t-il quand nous allumons notre poste de télévision pour recevoir des images ?
L'homme moderne est devenu malgré lui un utilisateur effréné des mathématiques !
Nous baignons dans les mathématiques sans nous en rendre compte. Nous évoluons dans cet univers de plus en plus magique créé par l'esprit humain. Ce livre nous propose de voyager à travers le temps en examinant de nombreux systèmes mis au point par les hommes pour protéger leurs messages.
L'aventure commence au Ve siècle avant J.-C. avec les conseils d'Enée le tacticien, traverse le moyen-âge en écoutant la découverte du diplomate, cryptographe, traducteur et alchimiste Vigenère, décrit les codes secrets utilisés pendant les deux guerres mondiales, puis explique le bouleversement opéré en 1976 avec la découverte de Diffie et Hellman menant à l'élaboration des systèmes cryptographiques à clés révélées, un concept indispensable pour faire fonctionner internet comme nous le connaissons aujourd'hui.

Ce livre mets l'accent sur l'histoire et sur l'aspect mathématique de la cryptographie. Il s'agit de comprendre comment les mathématiques sont présentes au coeur de toutes les constructions destinées à protéger les messages contre des écoutes indiscrètes.

Si vous voulez savoir :
      - à quoi servent les congruences,
      - pourquoi il est important de savoir calculer l'inverse d'un élément de Z/pZ,
      - à quoi servent les algorithmes,
      - pourquoi on étudie encore les nombres premiers et le Théorème de Bezout,
      - pourquoi il est bon d'étudier l'algèbre linéaire et utiliser des matrices,
      - si le logarithme sert à quelque chose dans la vie moderne,
      - si l'arithmétique est seulement une activité gratuite,
      - à quoi cela sert de définir des groupes sur des courbes géométriques, 
alors ce livre est fait pour vous !

Ce livre est lisible par tous. Le lecteur peu féru de mathématiques pourra sauter certains passages tout en conservant une bonne vision d'ensemble. Jusqu'au XIXe siècle, les systèmes cryptographiques étaient d'un abord très compréhensible pour le « non scientifique », et les chiffrements de César, Vigenère, Marie Stuart, Hill, Vernam, Playfair, les rotors d'ENIGMA ou les acrobaties d'un schéma de Feistel implanté dans le DES, sont tout à fait accessibles pour un public très large.

Nous sommes prêts pour un voyage enchanteur dans des contrées surprenantes où le rêve côtoie la réalité !

11. LOI NORMALE, ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION - La loi normale, et les applications que constituent l'échantillonnage et l'estimation, ont fait leur entrée en fanfare dans les programmes du lycée avec la réforme Chatel 2010. Ces notions difficiles à maîtriser et à enseigner font maintenant partie du bagage initial de tout professeur certifié. Ce livre donne les moyens de faire le point sur ces thèmes en proposant plusieurs entrées qui permettront au lecteur de trouver rapidement ce qu'il cherche. Il s'adresse à toute personne au moins titulaire d'une licence de mathématiques qui désire connaître la loi normale et ses applications telles qu'elles sont présentées au lycée actuellement.
Le premier chapitre de rappels peut être sauté si la définition d'une variable aléatoire à densité, et les quelques autres définitions qui vont avec, sont déjà connues.
Le Chapitre 2 présente tout ce qu'il faut savoir sur les lois normales : c'est un chapitre clé à étudier complètement.
Il est conseillé de sauter le Chapitre 3 en première lecture, et de ne s'y lancer que si l'on désire absolument voir une démonstration complète du Théorème central limite (TCL) dont un corollaire, le Théorème de Moivre-Laplace, sera utilisé dans la suite. Ce Chapitre 3 est à sauter définitivement pour les candidats au CAPES et à l'agrégation interne où ces deux théorèmes font partie des résultats admis. Quand on prépare un concours, le temps manque et il est conseillé de cibler ses apprentissages.
Après le Chapitre 2, on passera directement au Chapitre 4 qui montre l'approximation de certaines lois de probabilité par des lois normales, puis on enchaînera avec le Chapitre 5 présentant le problème de l'échantillonnage, les intervalles de fluctuation et quelques développements importants.
Le Chapitre 6, à lire absolument, achève ce voyage minimal en expliquant la problématique de l'estimation de certains paramètres d'une population de taille importante, et en définissant les intervalles de confiance.
Au Chapitre 7, un petit résumé fait le point sur les notions importantes à retenir. Si on le désire, on peut d'ailleurs commencer par lire ce résumé avant de se lancer dans l'étude des autres chapitres, utilisant ce développement comme une délicieuse « mise en bouche ».
Les Chapitres 8 et 9 offrent quelques approfondissements sur tout ce qui a trait à la loi normale au lycée, en permettant notamment de :
        - visiter les programmes officiels du secondaire,
        - découvrir tous les exercices posés au BAC 2015 sur ce thème,
        - explorer deux utilisations du logiciel Geogebra dans les classes.
Pour finir, un annexe revient sur quelques questions posées plus tôt, comme celle de la définition de l'intégrabilité d'une fonction sur R, si importante dans la définition d'une variable aléatoire à densité, et propose la correction d'un problème extrait du CAPES externe 2013 portant sur le rapport entre la loi normale et l'entropie d'une variable aléatoire. Nul doute que ce voyage dans le pays des approximations et des possibles laisse un bon souvenir ! Avanti !



12. CORPS FINIS - Ce livre permet de s'initier au calcul algébrique dans les corps finis pour se préparer à l'agrégation interne et accumuler facilement des connaissances dans cette partie importante des mathématiques. En prérequis, il est demandé de posséder quelques connaissances sur les structures algébriques et l'algèbre générale vues en licence, des savoirs qui seront réinvestis avec profit tout au long de cet ouvrage.
Les corps finis jouent un rôle fondamental en cryptographie et en théorie du codage de l'information, et ce livre peut aussi être considéré comme un prérequis pour bien comprendre certains passages des volumes 9 et 10 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES.
Le premier chapitre présente toutes les connaissances dont on a besoin pour comprendre la construction des corps finis : les éléments algébriques ou transcendants, le procédé fondamental d'adjonction symbolique d'une racine, l'existence du corps des racines d'un polynôme puis celle de la clôture algébrique d'un corps commutatif.
Le second chapitre est une digression agréable permettant de découvrir ou se remémorer trois applications remarquables de la notion d'extension algébrique. Le lecteur pressé pourra passer directement au chapitre 3 qui est central et contient l'étonnant théorème d'existence et d'unicité d'un corps fini à p^{ξ} éléments, où p désigne un nombre premier et ξ un entier naturel non nul.
Les chapitres 4, 5 et 6, indépendants entre eux, peuvent être lus dans l'ordre que l'on désire.
Pour terminer cette incursion dans l'algèbre corporelle finie, on pourra s'entraîner sur le très joli problème d'agrégation interne 2015 proposé dans sa totalité au chapitre 7. On pourra aborder ce problème avec tout le recul et les connaissances nécessaires pour en tirer profit et découvrir une construction explicite d'une extension de Fp incluse dans l'ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans Fp.
Les notions sont abordées progressivement, avec beaucoup d'explications pour rendre la visite agréable, et de nombreux compléments sont proposés en annexe afin de profiter de chaque occasion pour asseoir ses connaissances.
Encore un voyage mathématique passionnant dans le domaine de l'algèbre discrète. Que ce soit un plaisir subtil !



13. FORMULES DE TAYLOR ET DEVELOPPEMENTS LIMITES - Ce numéro traite quatre thèmes importants d'analyse mathématique : la comparaison des fonctions au voisinage d'un point, les formules de Taylor, les développements limités et les séries entières. L'objectif est de revisiter et approfondir ces thèmes fondamentaux, pour soi-même ou pour préparer l'agrégation, en disposant d'un texte fluide et rigoureux qui multiplie les rappels et les annexes pour préciser clairement les tenants et les aboutissants. De ce point de vue, le voyage qui s'offre à nous dépasse le cadre strict des formules de Taylor, et se comprend comme la suite naturelle du numéro 6 de la collection sur les grands théorèmes de l'analyse.
Il s'agit ici d'explorer ces constructions qui permettent d'approcher des fonctions par des applications polynomiales. Le voyage débute avec un premier chapitre sur le théorème de Rolle pour enchaîner sur la très nécessaire comparaison des fonctions au voisinage d'un point : domination, prépondérance, équivalence, avec de nombreux résultats à connaître et à utiliser au moment fatidique, que ce soit à l'écrit d'un concours ou pendant l'entretien avec un jury d'oral.
Le chapitre 3 décrit les trois formules de Taylor pour une fonction réelle de la variable réelle, avec de nombreux commentaires et des applications. Il propose en outre les généralisations des formules de Taylor aux cas des fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre.
Le chapitre 4 traite des développements limités : que faut-il apprendre et retenir ? Quels sont les énoncés salvateurs à savoir quand on s'escrime sur un problème ? Il a été jugé utile de rajouter un dernier chapitre très complet sur les développements en séries entière d'une variable complexe, un sujet proche des formules de Taylor qui complète l'éclairage sur ces approximations de fonctions obtenues à l'aide de la formule de Mac Laurin. Après l'investissement consenti dans les chapitres précédents, il aurait été dommage de ne pas profiter de l'occasion : il faut battre le fer tant qu'il est chaud ! Une annexe regroupe des développements sur la droite numérique achevée (indispensable quand on s'intéresse à des limites de fonctions de R dans R), sur la première formule de la moyenne, et propose un petit cours très complet sur les limites supérieures des suites avec les rappels concernant les règles de Cauchy et d'Alembert, énoncées et démontrées à l'aide de ces limites « qui existent pour n'importe quelles suites ».
Ce livre s'adresse principalement à des étudiants de licence et aux candidats au concours d'agrégation de mathématiques interne ou externe.



14. CONSTRUCTION DES NOMBRES -  Ce numéro 14 propose de voyager dans l'univers époustouflant des nombres, en s'intéressant tout spécialement à la dynamique de leur construction. Ce livre n'est pas un livre généraliste sur les nombre. Il contiendra quelques indications historiques, certes, mais là n'est pas son objet principal. Ce livre propose une construction rigoureuse réservée aux mathématiciens : celle des ensembles des nombres entiers naturels N, suivie par la construction de l'anneau des entiers relatifs Z, pour alors ressentir la nécessité d'aller au-delà et construire proprement l'ensemble Q des nombres rationnels, celui-ci même que manipulaient les glorieux mathématiciens grecs de l'antiquité. Le voyage continue avec la construction de R par les suites de Cauchy, pour culminer avec celle du corps des nombres complexes C aux nombreuses qualités.
La ligne directrice de cet ouvrage est un véritable fil d'Ariane défini par les constructions successives de ces ensembles qui demanderont presque toutes d'utiliser un outil fondamental des mathématiques : les classes d'équivalences et les ensembles quotients. Mise à part la définition axiomatique de N, rappelée et détaillée pour qu'on s'en imprègne -- puisqu'elle est à la base de tout, et permet in fine de justifier beaucoup de raisonnements élaborés qui seront autant de questions posées « en cascade » par les jurys des concours de recrutement de l'éducation nationale comme le CAPES ou l'agrégation -- toutes les constructions qui suivent, celles de Z, Q, R, C seront possibles en utilisant des classes d'équivalence choisies avec discernement.
Dans ce livre, il ne s'agit pas de commencer à compter sur ses doigts ni retourner à l'antiquité, mais montrer une construction axiomatique des nombres telle qu'on l'a découverte au XXe siècle, en mettant l'accent sur la méthode systématiquement employée : celle qui utilise la notion de classe d'équivalence.
 Ce livre s'adresse aux étudiants de seconde année de licence de mathématiques qui ont travaillé les structures algébriques usuelles de groupe, d'anneau et de corps, et connaissent les définitions d'une relation d'équivalence et d'un ensemble-quotient. Il s'adresse aussi aux candidats au CAPES et à l'agrégation de mathématiques. En regard de cette construction pyramidale des nombres, on prendra des chemins de traverse en nous intéressant aussi :
      - à la notion de cardinalité (finitude et dénombrabilité),
      - à la division euclidienne dans N, puis Z, et ses applications,
      - à la propriété universelle de Q,
      - aux 5 propriétés fondamentales de R liées à l'ordre,
      - aux nombres décimaux et à leurs applications,
      - à plusieurs introductions possibles de C,
      - aux équations polynomiales dans C, et en particulier à la résolution des équations polynomiales de degré 3.
Une annexe permet de préciser et développer certains détours du texte, le but affiché étant de fournir au lecteur un développement accessible, précis et self-contained. J'ai pris beaucoup de plaisir à revenir sur les constructions des ensembles de nombres à l'occasion de cet opus : cela m'a rappelé mon émerveillement quand, jeune étudiant à la faculté de Nice, j'ai découvert les structures algébriques. Je suis aujourd'hui heureux de pouvoir proposer cette présentation à la communauté. Que le lecteur profite agréablement de ce voyage algébrique vers des contrées où toutes les équations polynomiales admettent des racines : une drôle d'aventure !


30. ERREURS DE RAISONNEMENT & rédactions hasardeuses - Enjoy mathematics !
      ↬ Testez-vous sur des erreurs de raisonnement ou de rédaction. Développez votre esprit critique et votre capacité à découvrir les erreurs d'un raisonnement mathématique et les chausse-trappes d'une rédaction !
      ↬ Ces tests permettent de s'amuser en déjouant les pièges d'un oral ou d'un écrit, augmentant ainsi ses chances de rédiger convenablement une copie à partir d'un brouillon brut.
« Erreur tu n'es pas un mal » disait Alain. Si cette affirmation est utile pour développer des compétences et se construire petit à petit dans le domaine que l'on a choisi, elle devient rapidement fausse dès que l'on est en charge de construire un viaduc ou envoyer une fusée dans l'espace, à des moments où toute erreur de calcul ou de raisonnement peut avoir des conséquences funestes. L'erreur est utile si elle permet une prise de conscience et incite à une remédiation. Elle ne peut néanmoins jamais devenir souhaitable.
Ce livre est un entraînement sur des erreurs et des méprises communes relevées en mathématiques : il soumet de nombreux textes au lecteur qui cherchera à découvrir la faille, s'entraînant à localiser une difficulté dans un raisonnement ou une rédaction comme le ferait un professeur rompu à cette discipline. Ce challenge s'adresse à ceux qui désirent mieux comprendre les subtilités de la rédaction d'un texte mathématique.
Ce livre s'adresse aux étudiants qui passent des examens, et particulièrement aux candidats au CAPES et à l'agrégation qui ont à coeur d'apprendre à vite localiser et corriger des erreurs. Il s'adresse à tous ceux qui désirent savoir comment répondre à l'oral ou découvrir des chausse-trappes classiques présentes dans un bon nombre de copies d'examens. Ce livre permet de raisonner comme un membre du jury pour pister des erreurs communes.
Voici l'occasion de prendre conscience des dangers qui se nichent à l'oral comme à l'écrit pendant les épreuves, en rappelant que plus la prise de conscience est tardive, plus les difficultés s'amoncellent. Un certain bagage mathématique est nécessaire pour aborder ces textes : une licence de mathématiques est souhaitable, mais de nombreuses questions pourront être exploitées par un élève de terminale qui suit des options scientifiques. L'apprentissage se fera sous la forme de questions à analyser, et les réponses jointes seront suffisamment détaillées pour ne laisser aucun doute sur la façon d'apprécier les textes soumis. Dans ces extraits, le professeur de mathématiques trouvera rapidement, parfois d'un simple coup d'oeil, où se situe la difficulté, car il a acquis des réflexes qui lui permettent de bien raisonner et de rédiger rigoureusement. L'étudiant et le candidat au concours pourront prendre la place du correcteur pour exercer un esprit critique indispensable pour progresser. Recherchez la rigueur et détectez les raisonnements faux ou vérolés ! Ce livre fait suite au best-seller Les raisonnements mathématiques. Il permet d'affûter ses armes pour mieux raisonner et mieux rédiger en mathématiques.