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Collection DOSSIERS MATHEMATIQUES                          
 
Une approche classique pour une efficacité redoutable !                                       

Avanti !     

La collection DOSSIERS MATHEMATIQUES propose des développements courts et ciblés sur des thèmes intéressant les étudiants de licence, les candidats aux concours de recrutement de l'éducation nationale, et tous ceux qui possèdent une certaine culture mathématique et désirent approfondir un sujet particulier dans des délais restreints. Chaque fascicule de cours de cette collection précise les connaissances de base sur un thème donné pour faire rapidement le point, tandis que les recueils de problèmes permettent de continuer l'entraînement sur des questions choisies pour être raisonnables. Les volumes déjà parus figurent sur le tableau ci-dessous. Un clic sur la couverture vous mènera au volume en question.



Construction des nombres


Le tableau suivant permet de repérer rapidement l'adaptation d'un thème avec la formation envisagée : une case verte montre que le thème correspond au niveau affiché. N'oubliez pas qu'il est toujours facile de me poser directement une question en m'envoyant simplement un mél à l'adresse dany-jack.mercier@hotmail.fr. Si vous lisez un de ces livres, je serais heureux d'avoir un retour, une critique quelle qu'elle soit, et de lire un commentaire sur les pages d'Amazon de ces travaux !













# Titre CAPLP CAPES Licence Agrégation
1 Méthode des moindres carrés



2 Dualité en algèbre linéaire



3 Probabilités



4 Introduction à l’algèbre linéaire



5 Déterminants & systèmes linéaires



6 Les grands théorèmes de l’analyse



7 Les raisonnements mathématiques



8 Réduction des endomorphismes



9 Mathématiques et codes secrets



10 Codes correcteurs d’erreurs



11 Loi normale, échantillonnage et estimation



12 Corps finis



13 Formules de Taylor et dév. limités



14 Construction des nombres



15 Problèmes d'algèbre linéaire



16 Problèmes de réduction d'endomorphismes



17 Problèmes d'algèbre



18 Problèmes de coniques



19 Problèmes de formes bilinéaires symétriques



20 Problèmes d’espaces affines



21 Problèmes d’arithmétique



22 Problèmes de topologie élémentaire



23 Problèmes de probabilités



24 Problèmes de géométrie euclidienne



25 Cours d’arithmétique élémentaire



26 Problèmes d’isométries



27 Problèmes de similitudes



28 Problèmes d’analyse









   


4. INTRODUCTION A L'ALGEBRE LINEAIRE -
Ce livre est une invitation à revisiter les fondamentaux concernant l'algèbre linéaire. Il s'adresse à tous ceux qui possèdent déjà une certaine culture mathématique, mais disposent de peu de temps pour faire le point sur les bases sans sacrifier la rigueur de l'exposé et sans éviter d'avoir accès à des démonstrations détaillées.

 Ce livre est le début d'un cours d'algèbre linéaire que l'on peut suivre en licence, et qui va droit à l'essentiel. Il ne lui manque que des exercices d'application et les travaux dirigés en salle pour s'entraîner sur des énoncés variés et progressifs.
Ce cours s'insère dans une série de 5 lectures sur l'algèbre linéaire publiées dans le cadre de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES. Il s'agit du premier opus qui sera suivi des autres au fur et à mesure des parutions. Le lecteur qui désire réviser l'ensemble des fondamentaux d'algèbre linéaire pourra lire les volumes de la collection dans le « bon ordre » suivant :
      1) Introduction à l'algèbre linéaire (DM n°004)
      2) Matrices
      3) Dualité en algèbre linéaire (DM n°002)
      4) Déterminants et systèmes linéaires (DM n°005)
      5) Réduction des endomorphismes (DM n°008)

Ces chapitres qui permettent d'aller droit au but, permettront aussi à l'amoureux des mathématiques de s'immerger pour le plaisir dans les belles contrées de l'algèbre linéaire... Cette Introduction à l'algèbre linéaire, qui traite du tout début de la théorie, permet de :



5. DETERMINANTS ET SYSTEMES LINEAIRES - Ce volume propose de revisiter des parties de cours importantes sur les déterminants et les systèmes linéaires, et pas par le petit bout de la lorgnette ! Le lecteur trouvera ici un développement rigoureux et complet agrémenté de nombreuses applications utiles et jolies comme l'orientation d'un espace vectoriel, le résultant de deux polynômes, le Théorème de Rouché-Fontené bien expliqué, la méthode du pivot de Gauss, celle du pivot de Jordan, une description complète des opérations élémentaires sur une matrice, sans oublier une démonstration astucieuse du Théorème de Cayley-Hamilton.
D’autres pépites sont aussi à découvrir comme les polynômes d'interpolation de Lagrange, le produit mixte et la CNS pour que trois droites soient parallèles ou concourantes… Tout cela avec 11 exercices correspondant au thème, et de difficultés inégales de façon à faire le bonheur des capétiens mais aussi des agrégatifs !
Le travail par thème : une façon agréable de réviser l'algèbre linéaire et de préparer ses concours.
Comme d''habitude, si vous vous équipez de ce livre, je vous demanderai de me faire un retour et d'éclairer d'autres personnes en écrivant vos impressions sur Amazon, quelles qu'elles soient. Vous éclairerez aussi l'auteur de ces lignes... Vous pouvez aussi me contacter directement par mél quand vous le désirez :)










6. Le volume 6 des DOSSIERS MATHEMATIQUES permet de revisiter en profondeur quatre grands théorèmes d'analyse : le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des fonctions réciproques, le théorème de Rolle et celui des accroissements finis décliné en plusieurs versions suivant les choix des ensembles de départ et d'arrivée. Le matériel placé et adapté dans ce livre est extrait de ce que j'avais déjà travaillé en 2010 pour achever le volume V de la collection L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques. Mais manque de chance, ce travail s'est révélé caduque avec la réforme 2011 du CAPES, et le volume V n'est jamais sorti. Je disposais néanmoins d'un bon matériel sur lequel j'avais travaillé, et c'est ce matériel que j'exploite et que vous trouverez dans Les grands théorèmes d'analyse
La présentation des résultats de ce cours d'analyse ne fait plus du tout référence au CAPES ou à l'agrégation interne. Il s'agit maintenant d'un cours généraliste, où les questions du jury ne sont plus présentées comme telle, mais comme des réflexions et des remarques sur les résultats abordés : une invitation à la réflexion, et ne nous y trompons pas, une aide pour localiser les questions ennuyeuses qui pourraient être posées par un jury de concours. C'est un changement complet de stratégie pour permettre d'utiliser ces livres à l'oral du CAPES où seuls des livres du commerce et non axés sur l'oral du CAPES sont acceptés. Pour l'agrégation interne, absolument tous les livres ayant un ISBN sont acceptés, donc l'enjeu est différent.










7. RAISONNEMENTS MATHEMATIQUES - COOOOOOL ! J'ai réussi à le sortir ! J'ai effectué les dernières relectures dans une chambre d'hôtel alors que j'étais en séjour à Amsterdam. N'ayez pas peur j'ai bien relu, même si pendant mon séjour je me suis autorisé un "Space cake" dans in Coffee Shop pour découvrir un univers psychédélique, le premier que j'ai jamais mangé. Expérience bizarre, le temps qui s'écoule différemment, et... mais je n'en parlerai pas ici ! En tout cas Les raisonnements mathématiques sont bien le 7e volume de la collection DOSSIERS MATHEMATIQUES.
Ce livre propose un panorama précis des différentes méthodes de raisonnement que l'on rencontre en mathématiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de départ d'un voyage dans les contrées du raisonnement déductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abordés, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver à mieux comprendre la particularité des sciences logico-déductives. Agrémenté de 74 exemples proposés sous forme d'exercices de difficultés variées, corrigés et commentés avec soin, ce septième volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les méthodes dont on dispose en mathématiques pour chercher, raisonner, et rédiger.La plupart des exercices proposés demandent d'avoir au moins suivi la filière scientifique des lycées, même si des connaissances mathématiques des deux premières années de licence sont souhaitables pour une lecture facilitée de certains passages. Comme l'a écrit Epicure dans sa Lettre à Ménécée : « Il vaut mieux échouer par mauvaise fortune, après avoir bien raisonné, que réussir par heureuse fortune, après avoir mal raisonné ». Mais que veut dire « bien raisonner » ?
Après un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement déductif, avec quelques rappels concernant les tables de vérité, les prédicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 décrit sept raisonnements très utilisés en mathématiques :

- Raisonner directement en déduisant systématiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de procéder, même s'il s'avère judicieux de casser ce schéma pour permettre d'être plus créatif, par exemple en commençant par la conclusion.
- Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le suggère un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux.
- Un contre-exemple suffit pour infirmer une propriété présentée comme générale.
- Raisonner par contraposée peut être utile, mais l'intérêt majeur de la prise de la contraposée d'une implication réside plutôt dans la capacité de réécrire une affirmation de façon totalement nouvelle et insoupçonnée.
- Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contraposée en offrant plus de souplesse et de liberté. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aimé quand il s'agit d'écrire une démonstration.
- Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synthèse tant celui-ci permet de débuter une recherche tout en offrant une méthode de construction des objets auxquels on s'intéresse.
- En dernier lieu, on étudiera le raisonnement par récurrence qui donne un sens à des propositions qui touchent à une infinité de déclarations.

 Un dernier chapitre s'intéresse à l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la démonstration. L'apprentissage du raisonnement devrait être l'un des objectifs principaux de l'enseignement des mathématiques, conjointement à l'acquisition de tout un panel de savoirs structurés construits sur des résultats que l'on aura démontrés, ou du moins justifiés de la façon la plus rigoureuse possible à un niveau d'enseignement donné.



8. REDUCTION DES ENDOMORPHISMES - Ce n°8 de la collection des Dossiers mathématiques est un cours sur la réduction des endomorphismes, accompagné de 30 exercices d'application et de deux problèmes extraits de concours, permet de découvrir ou de réviser cette partie du programme d'algèbre linéaire. Il s'adresse aux étudiants de licence qui pourront découvrir les notions de valeurs propres, de vecteurs propres, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices carrées, puis le Théorème de Cayley-Hamilton, la réduction par bloc, le Théorème de Dunford, pour terminer sur la réduction sous la forme de Jordan.
Ce livre s'adresse aussi en priorité à tous ceux qui ont besoin de réviser cette partie du cours en prenant le maximum de recul, pour préparer un concours ou un examen. Les notions sont abordées de façon simple et claire, les exercices sont variés et permettent de s'entraîner dans des directions différentes, et un chapitre spécial a été ajouté pour proposer des applications variées de la réduction des endomorphismes sans hésiter à donner toutes les précisions utiles qui rendront ces applications transparentes.
La réduction d'endomorphisme peut donner lieu à des questions à l'écrit du CAPES, comme on le voit avec le premier problème proposé au chapitre 7, extrait du CAPES externe 2014 anticipé. Si l'on prépare le CAPES, on se bornera à bien travailler le cours minimum, c'est-à-dire les chapitres 1, 2, 3 et 4 en évitant de traiter le chapitre 5 sur la réduction de Jordan, puis on s'attaquera à quelques exercices sans oublier de traiter les deux problèmes du dernier chapitre. Si l'on prépare l'agrégation interne, et a fortiori l'externe, il est conseillé de tout lire et de tout travailler, en insistant sur les applications fondamentales rassemblées au chapitre 6. Je souhaite que le lecteur prenne autant de plaisir à lire ce volume 8 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES que j'ai eu de plaisir à le travailler et à le construire !







9. MATHEMATIQUES ET CODES SECRETS - La cryptographie n'a jamais été aussi présente dans notre vie de tous les jours, tout en sachant rester discrète. A travers elle, ce sont des mathématiques qui sont mises en oeuvre dans tous les appareils et les systèmes qui nous entourent aujourd'hui.
Beaucoup de lycéens demandent à leurs professeurs à quoi servent les mathématiques et s'il est utile de passer autant de temps à les étudier. Pour beaucoup, faire des mathématiques revient à couper les cheveux en quatre et ne les concerne pas. On peut d'ailleurs comprendre qu'en tant qu'utilisateurs et consommateurs, on puisse se contenter d'enfoncer des boutons et de poser les doigts sur des écrans tactiles pour obtenir par magie ce que l'on désire.
Qui peut imaginer qu'il utilise l'une des plus grandes découvertes en cryptographie au XXe siècle quand il insère sa carte bancaire dans le terminal d'une caisse de supermarché ? Qui se rappelle que des mathématiques sont mises en oeuvre chaque fois qu'il se connecte à un site internet sécurisé signalé par le texte « https » ? Qui enfin se rend compte que la moindre de ses communications sur son Smartphone utilise de l'algèbre, des anneaux de congruences, des corps finis, des matrices, et beaucoup d'arithmétique, et que les algorithmes qui en résultent forment autant de passerelles qui codent et décodent des milliards de messages en des temps records ? Que se passe-t-il quand nous allumons notre poste de télévision pour recevoir des images ?
L'homme moderne est devenu malgré lui un utilisateur effréné des mathématiques !
Nous baignons dans les mathématiques sans nous en rendre compte. Nous évoluons dans cet univers de plus en plus magique créé par l'esprit humain. Ce livre nous propose de voyager à travers le temps en examinant de nombreux systèmes mis au point par les hommes pour protéger leurs messages.
L'aventure commence au Ve siècle avant J.-C. avec les conseils d'Enée le tacticien, traverse le moyen-âge en écoutant la découverte du diplomate, cryptographe, traducteur et alchimiste Vigenère, décrit les codes secrets utilisés pendant les deux guerres mondiales, puis explique le bouleversement opéré en 1976 avec la découverte de Diffie et Hellman menant à l'élaboration des systèmes cryptographiques à clés révélées, un concept indispensable pour faire fonctionner internet comme nous le connaissons aujourd'hui.

Ce livre mets l'accent sur l'histoire et sur l'aspect mathématique de la cryptographie. Il s'agit de comprendre comment les mathématiques sont présentes au coeur de toutes les constructions destinées à protéger les messages contre des écoutes indiscrètes.

Si vous voulez savoir :
      - à quoi servent les congruences,
      - pourquoi il est important de savoir calculer l'inverse d'un élément de Z/pZ,
      - à quoi servent les algorithmes,
      - pourquoi on étudie encore les nombres premiers et le Théorème de Bezout,
      - pourquoi il est bon d'étudier l'algèbre linéaire et utiliser des matrices,
      - si le logarithme sert à quelque chose dans la vie moderne,
      - si l'arithmétique est seulement une activité gratuite,
      - à quoi cela sert de définir des groupes sur des courbes géométriques, 
alors ce livre est fait pour vous !

Ce livre est lisible par tous. Le lecteur peu féru de mathématiques pourra sauter certains passages tout en conservant une bonne vision d'ensemble. Jusqu'au XIXe siècle, les systèmes cryptographiques étaient d'un abord très compréhensible pour le « non scientifique », et les chiffrements de César, Vigenère, Marie Stuart, Hill, Vernam, Playfair, les rotors d'ENIGMA ou les acrobaties d'un schéma de Feistel implanté dans le DES, sont tout à fait accessibles pour un public très large.

Nous sommes prêts pour un voyage enchanteur dans des contrées surprenantes où le rêve côtoie la réalité !











10. CODES CORRECTEURS D'ERREURS - Ce volume 10 de la collection des Dossiers Mathématiques s'adresse à des étudiants de niveau master aussi bien qu'à des agrégatifs qui veulent disposer d'un développement accessible et cohérent leur donnant des exemples précis de cette application fondamentale de l'algèbre dans la « vie de tous les jours ». Il comporte trois parties :
   ✓ Une première partie est constituée par le cours de master : ce sont les sept premiers chapitres qui sont accompagné d'exercices corrigés.
   ✓ La seconde partie, formée des chapitres 8 à 10, peut être considérée comme une succession d'approfondissements.
   ✓ Un dernier chapitre est formé de l'énoncé de la composition de mathématiques générales de l'agrégation externe 1978 qui portait entièrement sur les codes. Une correction détaillée est proposée pour que cet entraînement soit efficace.

 





11. LOI NORMALE, ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION - La loi normale, et les applications que constituent l'échantillonnage et l'estimation, ont fait leur entrée en fanfare dans les programmes du lycée avec la réforme Chatel 2010. Ces notions difficiles à maîtriser et à enseigner font maintenant partie du bagage initial de tout professeur certifié. Ce livre donne les moyens de faire le point sur ces thèmes en proposant plusieurs entrées qui permettront au lecteur de trouver rapidement ce qu'il cherche. Il s'adresse à toute personne au moins titulaire d'une licence de mathématiques qui désire connaître la loi normale et ses applications telles qu'elles sont présentées au lycée actuellement.
Le premier chapitre de rappels peut être sauté si la définition d'une variable aléatoire à densité, et les quelques autres définitions qui vont avec, sont déjà connues.
Le Chapitre 2 présente tout ce qu'il faut savoir sur les lois normales : c'est un chapitre clé à étudier complètement.
Il est conseillé de sauter le Chapitre 3 en première lecture, et de ne s'y lancer que si l'on désire absolument voir une démonstration complète du Théorème central limite (TCL) dont un corollaire, le Théorème de Moivre-Laplace, sera utilisé dans la suite. Ce Chapitre 3 est à sauter définitivement pour les candidats au CAPES et à l'agrégation interne où ces deux théorèmes font partie des résultats admis. Quand on prépare un concours, le temps manque et il est conseillé de cibler ses apprentissages.
Après le Chapitre 2, on passera directement au Chapitre 4 qui montre l'approximation de certaines lois de probabilité par des lois normales, puis on enchaînera avec le Chapitre 5 présentant le problème de l'échantillonnage, les intervalles de fluctuation et quelques développements importants.
Le Chapitre 6, à lire absolument, achève ce voyage minimal en expliquant la problématique de l'estimation de certains paramètres d'une population de taille importante, et en définissant les intervalles de confiance.
Au Chapitre 7, un petit résumé fait le point sur les notions importantes à retenir. Si on le désire, on peut d'ailleurs commencer par lire ce résumé avant de se lancer dans l'étude des autres chapitres, utilisant ce développement comme une délicieuse « mise en bouche ».
Les Chapitres 8 et 9 offrent quelques approfondissements sur tout ce qui a trait à la loi normale au lycée, en permettant notamment de :
        - visiter les programmes officiels du secondaire,
        - découvrir tous les exercices posés au BAC 2015 sur ce thème,
        - explorer deux utilisations du logiciel Geogebra dans les classes.
Pour finir, un annexe revient sur quelques questions posées plus tôt, comme celle de la définition de l'intégrabilité d'une fonction sur R, si importante dans la définition d'une variable aléatoire à densité, et propose la correction d'un problème extrait du CAPES externe 2013 portant sur le rapport entre la loi normale et l'entropie d'une variable aléatoire. Nul doute que ce voyage dans le pays des approximations et des possibles laisse un bon souvenir ! Avanti !



12. CORPS FINIS - Ce livre permet de s'initier au calcul algébrique dans les corps finis pour se préparer à l'agrégation interne et accumuler facilement des connaissances dans cette partie importante des mathématiques. En prérequis, il est demandé de posséder quelques connaissances sur les structures algébriques et l'algèbre générale vues en licence, des savoirs qui seront réinvestis avec profit tout au long de cet ouvrage.
Les corps finis jouent un rôle fondamental en cryptographie et en théorie du codage de l'information, et ce livre peut aussi être considéré comme un prérequis pour bien comprendre certains passages des volumes 9 et 10 de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES.
Le premier chapitre présente toutes les connaissances dont on a besoin pour comprendre la construction des corps finis : les éléments algébriques ou transcendants, le procédé fondamental d'adjonction symbolique d'une racine, l'existence du corps des racines d'un polynôme puis celle de la clôture algébrique d'un corps commutatif.
Le second chapitre est une digression agréable permettant de découvrir ou se remémorer trois applications remarquables de la notion d'extension algébrique. Le lecteur pressé pourra passer directement au chapitre 3 qui est central et contient l'étonnant théorème d'existence et d'unicité d'un corps fini à p^{ξ} éléments, où p désigne un nombre premier et ξ un entier naturel non nul.
Les chapitres 4, 5 et 6, indépendants entre eux, peuvent être lus dans l'ordre que l'on désire.
Pour terminer cette incursion dans l'algèbre corporelle finie, on pourra s'entraîner sur le très joli problème d'agrégation interne 2015 proposé dans sa totalité au chapitre 7. On pourra aborder ce problème avec tout le recul et les connaissances nécessaires pour en tirer profit et découvrir une construction explicite d'une extension de Fp incluse dans l'ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans Fp.
Les notions sont abordées progressivement, avec beaucoup d'explications pour rendre la visite agréable, et de nombreux compléments sont proposés en annexe afin de profiter de chaque occasion pour asseoir ses connaissances.
Encore un voyage mathématique passionnant dans le domaine de l'algèbre discrète. Que ce soit un plaisir subtil !



13. FORMULES DE TAYLOR ET DEVELOPPEMENTS LIMITES - Ce numéro traite quatre thèmes importants d'analyse mathématique : la comparaison des fonctions au voisinage d'un point, les formules de Taylor, les développements limités et les séries entières. L'objectif est de revisiter et approfondir ces thèmes fondamentaux, pour soi-même ou pour préparer l'agrégation, en disposant d'un texte fluide et rigoureux qui multiplie les rappels et les annexes pour préciser clairement les tenants et les aboutissants. De ce point de vue, le voyage qui s'offre à nous dépasse le cadre strict des formules de Taylor, et se comprend comme la suite naturelle du numéro 6 de la collection sur les grands théorèmes de l'analyse.
Il s'agit ici d'explorer ces constructions qui permettent d'approcher des fonctions par des applications polynomiales. Le voyage débute avec un premier chapitre sur le théorème de Rolle pour enchaîner sur la très nécessaire comparaison des fonctions au voisinage d'un point : domination, prépondérance, équivalence, avec de nombreux résultats à connaître et à utiliser au moment fatidique, que ce soit à l'écrit d'un concours ou pendant l'entretien avec un jury d'oral.
Le chapitre 3 décrit les trois formules de Taylor pour une fonction réelle de la variable réelle, avec de nombreux commentaires et des applications. Il propose en outre les généralisations des formules de Taylor aux cas des fonctions d'un espace vectoriel normé dans un autre.
Le chapitre 4 traite des développements limités : que faut-il apprendre et retenir ? Quels sont les énoncés salvateurs à savoir quand on s'escrime sur un problème ? Il a été jugé utile de rajouter un dernier chapitre très complet sur les développements en séries entière d'une variable complexe, un sujet proche des formules de Taylor qui complète l'éclairage sur ces approximations de fonctions obtenues à l'aide de la formule de Mac Laurin. Après l'investissement consenti dans les chapitres précédents, il aurait été dommage de ne pas profiter de l'occasion : il faut battre le fer tant qu'il est chaud ! Une annexe regroupe des développements sur la droite numérique achevée (indispensable quand on s'intéresse à des limites de fonctions de R dans R), sur la première formule de la moyenne, et propose un petit cours très complet sur les limites supérieures des suites avec les rappels concernant les règles de Cauchy et d'Alembert, énoncées et démontrées à l'aide de ces limites « qui existent pour n'importe quelles suites ».
Ce livre s'adresse principalement à des étudiants de licence et aux candidats au concours d'agrégation de mathématiques interne ou externe.



14. CONSTRUCTION DES NOMBRES -  Ce numéro 14 propose de voyager dans l'univers époustouflant des nombres, en s'intéressant tout spécialement à la dynamique de leur construction. Ce livre n'est pas un livre généraliste sur les nombre. Il contiendra quelques indications historiques, certes, mais là n'est pas son objet principal. Ce livre propose une construction rigoureuse réservée aux mathématiciens : celle des ensembles des nombres entiers naturels N, suivie par la construction de l'anneau des entiers relatifs Z, pour alors ressentir la nécessité d'aller au-delà et construire proprement l'ensemble Q des nombres rationnels, celui-ci même que manipulaient les glorieux mathématiciens grecs de l'antiquité. Le voyage continue avec la construction de R par les suites de Cauchy, pour culminer avec celle du corps des nombres complexes C aux nombreuses qualités.
La ligne directrice de cet ouvrage est un véritable fil d'Ariane défini par les constructions successives de ces ensembles qui demanderont presque toutes d'utiliser un outil fondamental des mathématiques : les classes d'équivalences et les ensembles quotients. Mise à part la définition axiomatique de N, rappelée et détaillée pour qu'on s'en imprègne -- puisqu'elle est à la base de tout, et permet in fine de justifier beaucoup de raisonnements élaborés qui seront autant de questions posées « en cascade » par les jurys des concours de recrutement de l'éducation nationale comme le CAPES ou l'agrégation -- toutes les constructions qui suivent, celles de Z, Q, R, C seront possibles en utilisant des classes d'équivalence choisies avec discernement.
Dans ce livre, il ne s'agit pas de commencer à compter sur ses doigts ni retourner à l'antiquité, mais montrer une construction axiomatique des nombres telle qu'on l'a découverte au XXe siècle, en mettant l'accent sur la méthode systématiquement employée : celle qui utilise la notion de classe d'équivalence.
 Ce livre s'adresse aux étudiants de seconde année de licence de mathématiques qui ont travaillé les structures algébriques usuelles de groupe, d'anneau et de corps, et connaissent les définitions d'une relation d'équivalence et d'un ensemble-quotient. Il s'adresse aussi aux candidats au CAPES et à l'agrégation de mathématiques. En regard de cette construction pyramidale des nombres, on prendra des chemins de traverse en nous intéressant aussi :
      - à la notion de cardinalité (finitude et dénombrabilité),
      - à la division euclidienne dans N, puis Z, et ses applications,
      - à la propriété universelle de Q,
      - aux 5 propriétés fondamentales de R liées à l'ordre,
      - aux nombres décimaux et à leurs applications,
      - à plusieurs introductions possibles de C,
      - aux équations polynomiales dans C, et en particulier à la résolution des équations polynomiales de degré 3.
Une annexe permet de préciser et développer certains détours du texte, le but affiché étant de fournir au lecteur un développement accessible, précis et self-contained. J'ai pris beaucoup de plaisir à revenir sur les constructions des ensembles de nombres à l'occasion de cet opus : cela m'a rappelé mon émerveillement quand, jeune étudiant à la faculté de Nice, j'ai découvert les structures algébriques. Je suis aujourd'hui heureux de pouvoir proposer cette présentation à la communauté. Que le lecteur profite agréablement de ce voyage algébrique vers des contrées où toutes les équations polynomiales admettent des racines : une drôle d'aventure !