Acquisition des fondamentaux pour les concours

      ★ Les différents volumes de la collection Acquisition des fondamentaux pour les concours permettent de parcourir efficacement et rapidement des thèmes qui touchent à l'essentiel. Il s'agit de poser les bonnes questions qui permettent d'apprendre et/ou de réviser des définitions importantes et des résultats classiques du cours qu'il vaut mieux ne pas ignorer.
Les réponses détaillées, qui sont proposées, aideront le candidat à acquérir une bonne maîtrise des connaissances attendues par un jury. Cette maîtrise permet de réagir rapidement à l'écrit sur des questions classiques et se révèle indispensable à l'oral pour éviter des embûches et des chausse-trappes qui peuvent conduire à des notes éliminatoires.
Les livres de cette collection sont des outils destinés à acquérir les fondamentaux dans une démarche originale d'acquisition et de renforcement des connaissances.
L'oral d'un concours se prépare en imaginant les questions que pourrait poser le jury pendant l'entretien, et en tentant d'y répondre le plus complètement possible. C'est ainsi que l'on montre que l'on a réfléchi sur des notions clés du programme, et que l'on ne s'est pas contenté d'un survol bref et superficiel. Les questions classiques méritent donc d'être reposées régulièrement pour faciliter la mémorisation des réponses. Des circuits neuronaux se créent progressivement. Les réponses reviennent plus facilement à l'esprit quand on a déjà réfléchi sur des problèmes proches, et tout se met en place de plus en plus facilement au fur et à mesure de son entraînement. Bref, on possède mieux son sujet et on peut mieux en parler...
Les livres de cette collection ont un autre impact non négligeable : celui de fournir au candidat un certain nombre de questions et de réponses simples à retenir, donc susceptibles d'être présentées le jour d'un oral.

       ★ Les questions retenues peuvent être classées sous cinq étiquettes :

1. Questions effectivement posées à l'oral. Il s'agit essentiellement de questions posées aux oraux des CAPES externes et internes, de l'agrégation interne, et parfois du CAPLP de Maths Sciences physiques et du CAPES agricole. Aucune source n'est cependant exclue. Certaines de ces questions reviennent régulièrement comme des leitmotivs et permettent au jury d'observer les réactions des candidats et de détecter éventuellement des lacunes dont il s'attachera ensuite à préciser leurs étendues.

2. Extraits de problèmes de concours. Il s'agit de passages classiques où l'on doit rapidement engranger des points en cherchant vite et en rédigeant bien. L'accent est mis sur les questions de cours ou celles qui demandent un réinvestissement de connaissances considérées comme acquises.

3. Questions suggérées par les rapports du jury. La lecture des rapports de jury des années précédentes est un exercice bénéfique recommandé à tous les candidats, et peut donner l'idée d'une question pertinente à poser.

4. Résultats classiques de cours. Il ne suffit pas d'avoir lu une fois un cours sur un sujet donné pour le connaître parfaitement. Il faut avoir suffisamment réfléchi sur les savoirs de base et pouvoir les restituer avec précision. Ces connaissances et savoir-faire s'apprennent tout au long de la préparation au concours, et jouent un rôle important - voire décisif - pendant l'entretien qui suit une épreuve orale. Il faut connaître et pouvoir restituer les définitions de base et les théorèmes classiques du cours au tableau, dès qu'un examinateur le demande ! Des questions de cours peuvent être posées à l'oral à n'importe quel moment.

   5. Questions de réinvestissement du cours. Ces questions mobilisent le savoir sur un exemple, permettent de s'habituer à réagir rapidement pour utiliser le « bon théorème » qui est au programme, offrent du recul au candidat et enrichissent son vécu mathématique. Elles offrent en outre des exemples d'application que l'on pourra utiliser dans un exposé d'oral ou pour répondre à des examinateurs.

       ★ Deux conseils :
Les livres de cette collection permettent de travailler sur des questions de base et acquérir une culture mathématique solide en peu de temps. Pour compléter sa préparation des écrits sur les thèmes abordés, il reste conseillé de s'échiner sur des annales de concours récentes et corrigées avec soin.
Pour l'oral, il faudra aussi s'adapter aux épreuves du concours que l'on passe, et s'entraîner à construire des leçons et réagir à des dossiers des années précédentes, s'il s'agit du CAPES externe.
Pour travailler en synergie avec les livres de la collection Acquisition des fondamentaux pour les concours, je conseille d'utiliser les deux livres proposés en téléchargement gratuit sur le site Mégamaths, qui complètent et amplifient l'impact de son travail. Il s'agit de :
- CAPES/AGREG Maths - Préparation intensive à l'entretien pour apprendre à réagir pendant l'entretien qui suit un exposé oral.
- ORAL 1 DU CAPES MATHS, Pistes et commentaires pour accumuler des savoirs sur les thèmes des leçons d'oral 1 et s'entraîner à répondre à des questions du jury.

Pour préparer un concours, on révise du cours, on s'entraîne sur le plus grand nombre possible d'exercices et de problèmes corrigés, on planche sur des annales corrigées récentes, et, pour finir, on réserve des heures pour travailler spécifiquement les oraux.

       ★ Chaque recueil :
    - permet de s'entraîner sur des connaissances de base dont beaucoup ont déjà fait l'objet de questions à l'oral ou à l'écrit d'un concours. Cela garantit de ne travailler que sur des questions prioritaires et contribue à lutter contre les échecs dus à une méconnaissance des résultats classiques. Connaître ses fondamentaux permet par exemple de réagir vite sur des questions de cours posées dans un problème à l'écrit, ou encore d'éviter d'être admissible pour rater ses oraux en chutant sur des questions classiques et prévisibles posées par les examinateurs.
    - est formé d'éléments de connaissance (EC) indépendants (autant que possible) et assez courts pour être faciles à mémoriser. Les fondamentaux sont ainsi découpés en petites unités (presque) indépendantes.
Ces deux points constituent la spécificité de cette approche de la préparation aux concours : l'accent est délibérément mis sur les fondamentaux et sur le désir d'atomiser les connaissances.
Ces EC sont rassemblés par thèmes pour permettre de travailler chapitre par chapitre si on le désire. Le fait de travailler sur des EC permet de découvrir ces questions une première fois, puis d'y revenir régulièrement pendant sa préparation pour s'assurer qu'on les a bien mémorisées.
On peut se donner pour but de travailler un certain nombre de ces questions chaque jour. On visualise alors facilement ses progrès en termes de « volume de connaissances fondamentales utiles pour le concours ». Puis, au bout d'un moment, on peut décider de consacrer quelques heures pour tirer au hasard quelques questions déjà traitées et les poser à nouveau.

       ★ C'est en retournant régulièrement sur ces EC qu'on finit par graver ces fondamentaux dans sa Mémoire à Long Terme (MLT). Il existe deux moyens de stocker des informations dans la MLT :
a) Par répétition d'entretien : à force d'être répétée pour ne pas être oubliée, l'information stockée dans la MCT (Mémoire à Court Terme) est transférée dans la MLT
    b) Par répétition élaboratrice : le mental intègre l'information dans les souvenirs déjà présents, la place et la situe dans un ensemble d'informations et de connaissances que vous possédez déjà.
On acquiert de ce fait des connaissances et des automatismes salvateurs qui permettent de réagir rapidement à l'écrit et d'avoir du répondant pendant un entretien. Quelle que soit la façon d'utiliser ce recueil, on est assuré de travailler sur des fondamentaux et de préparer conjointement l'écrit et l'oral du concours en perfectionnant les bases. Cet enseignement est donc prioritaire !

       ★ Quelques indications utiles :

      ✓ Le premier point important à retenir, c'est qu'un ouvrage mathématique ne sert à rien si on ne l'utilise pas ! Le second point important est de rappeler que la quantité de progrès effectués dans un domaine quelconque est une fonction croissante du temps que l'on investit dans ce domaine. Utilisez donc ces livres et investissez du temps : vous ferez des progrès ! L'idéal serait d'obtenir avant le concours un niveau tel qu'il soit difficile de ne pas pouvoir répondre à une question posée une fois qu'elle est posée... Comme il s'agit d'un idéal, on fera quelques compromis et l'on se donnera pour objectif plus réaliste d'atteindre un « bon niveau réel ».

      ✓ Si l'on prépare le CAPES, ou tout autre concours, pour la première fois, ou si l'on a repris récemment ses études, on doit d'abord penser à bûcher son cours. Il est alors conseillé de travailler ce cours sur des ouvrages ou des notes de cours que l'on apprécie bien.

      ✓ Choisissez des questions dans ces recueils. Commencez par les thèmes qui vous plaisent, choisissez d'avancer du premier chapitre au dernier comme un rouleau compresseur, ou piquez des questions au hasard. Toutes les façons de faire sont bonnes. N'hésitez pas à utiliser ces questions comme vous l'imaginez !

      ✓ Certaines questions peuvent être posées et résolues à l'oral. Dans ce cas, tentez d'y répondre oralement en formulant à haute voix une réponse structurée, si possible convaincante, que vous vérifierez. Faites des phrases correctes et soyez explicite. Ne laissez pas le jury deviner ce que vous voulez dire : ce n'est pas son rôle et il ne jouera pas le jeu ! Une idée intéressante est de jouer avec ces questions d'oral avec un camarade en lui posant des questions et en analysant ses réponses, puis en échangeant vos rôles de temps en temps. Si la solution ne vient pas rapidement en tête, prenez un stylo et un brouillon, ou travaillez sur un tableau. D'autres questions sont typiquement des questions posées à l'écrit, ou à l'oral par un jury qui vous autorise à utiliser le tableau comme support de brouillon. Dans ce cas, utilisez un brouillon dès le début.

      ✓ Lisez toujours la solution proposée même si vous pensez avoir donné une bonne réponse. C'est à ce moment que vous pourrez savoir si votre approche est bonne et/ou s'il existe d'autres réponses possibles, et lire des remarques générales sur le sujet.

      ✓ Organisez des ensembles de questions pour vous amuser à créer des tests d'entraînement, que vous pourrez utiliser seuls ou en groupe. Des questions rassemblées sur un papier feront une bonne IOC (Interrogation Orale de Cours) ou une IEF (Interrogation Ecrite sur les Fondamentaux).

      ✓ A certains moments, utilisez ces questions pour rechercher des solutions (mentalement ou sur un brouillon) et les rédiger complètement et aussi parfaitement que possible. Recherche et rédaction sont des activités mathématiques indissociables et primordiales lorsqu'on prépare un concours ! Au début, il est conseillé de rédiger toutes les solutions que l'on aura trouvées. Puis on en rédigera une sur trois, puis de moins en moins au fur et à mesure qu'on sera convaincu d'être capable de rédiger efficacement à partir de traces écrites laissées sur un brouillon. Une fois bien préparé, on n'hésitera pas à revenir sur les questions de ce recueil pour se les remettre en tête, en s'autorisant à ne plus rédiger quoi que ce soit au propre, donc en se contentant d'une réponse mentale ou d'une recherche au brouillon suivie d'une vérification de routine consistant à jeter un coup d'oeil sur les solutions proposées. On gagne alors un temps précieux, mais attention : cette méthode n'est efficace que si l'on se sait capable de bien rédiger à partir d'un simple brouillon. Le travail de recherche et de rédaction permet de préparer l'écrit en utilisant des IEF (Interrogations Ecrites sur les Fondamentaux) formées de questions issues de ce recueil.

      ✓ Il est conseillé de s'entraîner sur certaines questions en formulant une réponse à haute voix dès que la question se prête à une réponse orale. On peut fournir une réponse partielle qui pourra être complétée si le jury le demande. Il est toujours possible de compléter une réponse partielle en utilisant un tableau, ou un brouillon si on ne dispose pas de tableau. Imaginez-vous dans le feu de l'action, à l'oral, en train de répondre à une question...

      ✓ En situation d'interrogation orale, le temps de réponse à une question peut difficilement excéder une vingtaine de secondes, et il faut s'entraîner à agir et prendre rapidement ses marques pour proposer quelque chose en pâture... Le jury est attentif aux réactions des candidats. Lorsqu'il s'agit de questions classiques, imaginez que vous êtes au tableau en train de répondre à un examinateur. Vous avez le droit de réfléchir à haute voix et d'utiliser le tableau comme support pour vous aider dans votre recherche et dans vos explications. Faites des diagrammes, utilisez des couleurs... Il faut s'habituer à s'entendre répondre à haute voix en faisant des phrases. C'est très important pour l'oral ! Vous venez d'expérimenter des IOC (Interrogation Orale de Cours), ce qui constitue une bonne façon de retenir un cours. Vous pouvez travailler seul, en binôme ou en groupe pour vous poser des questions à tour de rôle. Jouez avec ces questions en imaginant les règles que vous voulez, faites des quiz, et vous ferez des progrès de manière ludique.

INTRODUCTION DU VOLUME I

Ces 540 questions variées d'algèbre et d'arithmétique, proposées avec des réponses détaillées, permettront de s'entraîner efficacement pour retenir l'essentiel de ce que l'on doit posséder quand on passe un concours. Rappels de définitions fondamentales, révision de résultats classiques à connaître sur le bout des doigts, reprises de questions posées à l'écrit comme à l'oral de concours comme le CAPES, l'agrégation ou le CAPLP... Voici un outil de préparation indispensable pour qui veut mettre toutes les chances de son côté. Si vous préparez le CAPES, l'agrégation, ou un concours où intervient de l'algèbre, de l'arithmétique et des polynômes, un bon conseil est d'acquérir le volume I de Acquisition des fondamentaux pour les concours ! Les 540 questions posées dans ce livre ont été rassemblées patiemment depuis de longues années et sont maintenant rassemblées dans un seul gros volume. Pour avoir une idée de la nature de ce travail, c'est simple : il suffit d'ouvrir le volume IV qui concernait la géométrie, et de voir. Tous les exercices proposés sont corrigés et rédigés avec soin dans la seconde partie du livre. Un must ! Sert pour préparer l'oral et l'écrit...

Ce livre ne se lit pas une seule fois pour ensuite être mis de côté. Pour acquérir une maîtrise suffisante, une lecture ne suffit pas : il faudra procéder à une lecture complète, émaillée de recherches personnelles et d'une confrontation aux corrigés, puis il faudra revenir sur ces questions, dans l'ordre que l'on voudra, pour se les poser à nouveau et s'entraîner à y répondre parfois au brouillon, parfois en les rédigeant complètement pour ensuite porter un regard critique sur sa rédaction. C'est ainsi que l'on pourra s'exercer et tirer le maximum de profit.

Le fait de pouvoir choisir au hasard une série de questions sur un thème donné pour tenter d'y répondre, puis de lire et comprendre la réponse proposée, constitue un cercle vertueux qui permet de consolider les bases et acquérir des automatismes.

Ce découpage en petites unités d'information, en « éléments de connaissances », permet :
      - de s'entraîner à n'importe quel moment de la journée, même si l'on dispose de peu de temps, en étant assuré d'apprendre ou de réviser un point significatif du programme.
      - de revenir autant de fois que nécessaire, et à intervalles réguliers, sur des questions fondamentales pour s'assurer que l'information a été assimilée et sera disponible quand on en aura besoin.
      - d'assurer des connaissances précises que l'on pourra agencer selon ses besoins en créant des liens et en imaginant des enchaînements.

Saurions-nous répondre aux questions suivantes :
      ∙ A quelles conditions a-t-on l'égalité dans l'inégalité de Minkowsky ?
      ∙ Pour une forme bilinéaire symétrique, être définie ou être non dégénérée revient-il au même ?
      ∙ Que vaut l'orthogonal de la somme de deux espaces ?
      ∙ Quelles est la particularité de la technique de décomposition de Gauss d'une forme quadratique ? A quoi sert-elle ?
      ∙ Existe-t-il un ou plusieurs produits scalaires ? Peut-on les trouver tous ?
      ∙ Comment présenter la notion de produit scalaire au lycée ?
      ∙ Démontrez la formule donnant cos(a+b).
      ∙ Comment montrer le procédé d'orthonormalisation de Schmidt ?
      ∙ Définissez l'adjoint d'un endomorphisme. Cette définition a-t-elle un sens ?
      ∙ Connaissez-vous des distances non euclidiennes dans le plan ?
      ∙ Proposez quatre définitions différentes d'une application orthogonale.
      ∙ Quelle est la nature de la composée de deux symétries orthogonales par rapport à des sous-espaces perpendiculaires ?
      ∙ Comment montrer le Théorème de Cartan-Dieudonné ?
      ∙ Quelle est la première chose à dire sur une matrice réelle symétrique ?
      ∙ Quelle formule donne la plus grande valeur propre d'une matrice réelle symétrique ?
      ∙ Quelle est la forme générale d'une application orthogonale dans Rⁿ ?
      ∙ Qu'est-ce qu'un angle ?
      ∙ Que veut-on dire quand on exprime qu'un triangle est direct ?
      ∙ Définissez le produit vectoriel de deux vecteurs.
      ∙ Comment définit-on une exponentielle de matrices ? Propriétés ?