COURS D'ANALYSE d'Antoine Delcroix






Le cours d'analyse que vous pouvez télécharger ici est gracieusement placé sur MégaMaths par mon collègue Antoine Delcroix. Il intéresse prioritairement les étudiants de Licence, des CPGE, et tous les candidats aux concours de recrutement de l'Education nationale (CAPES, Agrégation, CAPLP, ...).

"Ces cours d'analyse regroupent principalement des éléments pour l'étude d'une fonction de la variable réelle à valeurs réelles (ou complexes). Ils ont été écrits pour répondre aux besoins des étudiants de l'IUFM de la Guadeloupe, d'abord pour la préparation de l'épreuve d'exposé (oral 1) puis avec une extension vers la préparation de l'écrit. Ce mode d'élaboration explique que ces cours ne couvrent (pas encore ?) l'ensemble d'un programme donné (DEUG, CAPES,...) et qu'ils ne répondent (pas encore ?) aux canons d'une publication officielle (par exemple : absence presque totale de bibliographie). Ces défauts seront peu à peu corrigés, mais l'auteur et le WebMaster de ce site espèrent néanmoins qu'ils pourront vous rendre service, que vous soyez étudiants de CPGE ou de Licence, que vous prépariez le CAPES de mathématiques ou le PLP2 mathématiques-sciences. Bonne lecture. Et n'hésitez pas à faire parvenir vos commentaires à l'auteur !"



Le Cours



Thème 0 : Suites numériques, fonctions d'une variable réelle

Contenu

  1. Suites numériques (suite convergente : définition quantifiée de la limite) ; propriétés algébriques ; exemples de suites classiques : arithmétiques, géométriques, définies par récurrence ; comparaison des suites).

  2. Fonction de la variable réelle (limites, continuité : définition quantifiée de la limite) ; dérivabilité ; théorème des accroissements finis et théorème de Rolle, applications ; dérivées successives ; formule de Leibniz, formules de Taylor ; étude locale des fonctions : comparaison des fonctions, développements limités).

Commentaire : Ce chapitre fait partie du bagage acquis en terminale scientifique et en L1 : il constitue un prérequis. Il ne fera donc l'objet de révisions spécifiques dans le cadre de la préparation à l'écrit qu'à votre demande. Des plans et résumés de cours seront disponibles en ligne. Notez que ce programme recoupe exactement les leçons d'oral 1, mentionnées ci-dessus et sera donc de fait revu lors des séances de préparation à l'oral 1.


Thème 1 : Espaces vectoriels normés. Notion de suite et de série

Contenu

  1. Approfondissement du point 1 du thème 0.

  2. Espaces métriques, espaces normés (en particulier normes équivalentes, théorème du point fixe).

Commentaire Ce chapitre fait partie du bagage acquis en L2/L3. Dans la pratique, les problèmes d'écrits ne sont pas centrés sur des études fines d'espaces métriques, normés ou de Hilbert. Mais, un problème sur les séries de Fourier et les noyaux intégraux classiques peut demander des connaissances standard sur, par exemple, le théorème de projection. Ceci donne toute son importance à ce thème.

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Thème 2 : Compléments sur les fonctions d'une variable réelle (calcul intégral, intégrales dépendant d'un paramètre, intégrales généralisées) et fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples.


Thème 2A : Compléments sur les fonctions d'une variable réelle, calcul intégral, intégrales dépendant d'un paramètre, intégrales généralisées
Prérequis

Contenu

  1. Approfondissement du point 2. du thème 1A (généralités sur les fonctions de la variable réelle).

  2. Intégrales dépendant d'un paramètre.

  3. Intégrales généralisées et applications.

Commentaires : A propos de l’usage des calculatrices, on rappelle que les primitives courantes se calculent à l'aide du noyau de calcul formel des calculatrices autorisées. En application de ce thème, l'étude des courbes paramétrées et polaires du plan (mais aussi de celles de l’espaces)  peut être traité aussi bien en analyse qu’en géométrie, selon l’aspect sur lequel on met l’accent.

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Thème 2B : Fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples

Prérequis

Contenu

  1. Compléments et révisions sur les fonctions de plusieurs variables.

  2. Pratique du calcul des intégrales doubles et triples.

Commentaires : Le programme du concours n'est pas très difficile sur ce thème. On demande au candidat de connaître les propriétés de base des fonctions de plusieurs variables.

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N.B. Le lecteur pourra également visiter http://ens.univ-rennes1.fr/mathsciences1/ ou bien http://www.univ-ag.fr/~mhasler/m2/ pour des rappels de cours bien conçus sur le thème 2).


Thème 3 : Suites et séries de fonctions, analyse de Fourier

Prérequis

Contenu

  1. Révisions et approfondissement sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ; exemples,...)

  2. Révisions et approfondissement sur les séries de fonctions (convergence simple, uniforme, normale ; exemples,...)

  3. Application à l'étude d'intégrales généralisées dépendant d'un paramètre.

  4. Révisions sur les séries entières.

  5. Révisions sur les séries de Fourier.

Commentaires : Un cours synthétique portera sur les points 1., 2., 4. et 5. On mentionnera ici l'importance des théorèmes de régularité (qui donnent des conditions suffisantes pour qu'une limite de suites de fonctions, ou la somme d'une série possède la régularité des termes de la suite considérée).  C’est un sommet du programme du concours en analyse !

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Thème 4 : Equations différentielles

Prérequis

Contenu

  1. Les systèmes linéaires et les équations différentielles linéaires : généralités, problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lipschitz, étude qualitative des solutions.

  2. Etude des équations différentielles d'ordre 1 et 2.

  3. Exemples usuels d'équations différentielles non-linéaires.

Commentaires : Le programme n’est peut être pas très poussé (par exemple, il ne demande pas de connaître une preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz). En revanche, un texte de concours peut demander une parfaite connaissance des conséquences des théorèmes fondamentaux sur la structure des ensembles de solutions des équations différentielles linéaires. Il faut également maîtriser les liens entre équations différentielles et leurs solutions, intégrales généralisées, suites ou séries de fonctions. C’est là ou se trouve des sources de nombreux (beaux) problèmes mathématiques pouvant inspirer un texte de concours. Un cours pourra faire le point sur les équations différentielles et des travaux dirigés présenteront des exemples des liens évoqués ci-dessus.

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Une sélection de documents de cours en lignes pour la préparation du CAPES externe de mathématiques, en analyse.




Voici une liste de cours (dont la disponibilité a été vérifiée  le 9 juin 2008) de contenu mathématique irréprochable, et plus que suffisants pour asseoir une bonne culture en analyse. Le niveau de chaque document (de L1 à L3) est donné ainsi que son auteur, son contenu, son nombre de pages et sa nature (PDF pour l'essentiel).

Analyse réelle


Analyse numérique


Quelques autres sites mathématiques