COURS D'ANALYSE d'Antoine Delcroix

Le cours d'analyse que vous pouvez télécharger ici est gracieusement placé sur MégaMaths par mon collègue Antoine Delcroix. Il intéresse prioritairement les étudiants de Licence, des CPGE, et tous les candidats aux concours de recrutement de l'Education nationale (CAPES, Agrégation, CAPLP, ...).

"Ces cours d'analyse regroupent principalement des éléments pour l'étude d'une fonction de la variable réelle à valeurs réelles (ou complexes). Ils ont été écrits pour répondre aux besoins des étudiants de l'IUFM de la Guadeloupe, d'abord pour la préparation de l'épreuve d'exposé (oral 1) puis avec une extension vers la préparation de l'écrit. Ce mode d'élaboration explique que ces cours ne couvrent (pas encore ?) l'ensemble d'un programme donné (DEUG, CAPES,...) et qu'ils ne répondent (pas encore ?) aux canons d'une publication officielle (par exemple : absence presque totale de bibliographie). Ces défauts seront peu à peu corrigés, mais l'auteur et le WebMaster de ce site espèrent néanmoins qu'ils pourront vous rendre service, que vous soyez étudiants de CPGE ou de Licence, que vous prépariez le CAPES de mathématiques ou le PLP2 mathématiques-sciences. Bonne lecture. Et n'hésitez pas à faire parvenir vos commentaires à l'auteur !"

Thème 0 : Suites numériques, fonctions d'une variable réelle

Contenu

1. Suites numériques (suite convergente : définition quantifiée de la limite) ; propriétés algébriques ; exemples de suites classiques : arithmétiques, géométriques, définies par récurrence ; comparaison des suites).

2. Fonction de la variable réelle (limites, continuité : définition quantifiée de la limite) ; dérivabilité ; théorème des accroissements finis et théorème de Rolle, applications ; dérivées successives ; formule de Leibniz, formules de Taylor ; étude locale des fonctions : comparaison des fonctions, développements limités).

Commentaire : Ce chapitre fait partie du bagage acquis en terminale scientifique et en L1 : il constitue un prérequis. Il ne fera donc l'objet de révisions spécifiques dans le cadre de la préparation à l'écrit qu'à votre demande. Des plans et résumés de cours seront disponibles en ligne. Notez que ce programme recoupe exactement les leçons d'oral 1, mentionnées ci-dessus et sera donc de fait revu lors des séances de préparation à l'oral 1.

Thème 1 : Espaces vectoriels normés. Notion de suite et de série

Contenu

1. Approfondissement du point 1 du thème 0.

2. Espaces métriques, espaces normés (en particulier normes équivalentes, théorème du point fixe).

Commentaire Ce chapitre fait partie du bagage acquis en L2/L3. Dans la pratique, les problèmes d'écrits ne sont pas centrés sur des études fines d'espaces métriques, normés ou de Hilbert. Mais, un problème sur les séries de Fourier et les noyaux intégraux classiques peut demander des connaissances standard sur, par exemple, le théorème de projection. Ceci donne toute son importance à ce thème.

Cours en ligne

• Suites et séries numériques.

Thème 2 : Compléments sur les fonctions d'une variable réelle (calcul intégral, intégrales dépendant d'un paramètre, intégrales généralisées) et fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples.

Thème 2A : Compléments sur les fonctions d'une variable réelle, calcul intégral, intégrales dépendant d'un paramètre, intégrales généralisées
Prérequis

• L'intégralité du thème 1.

• L'intégrale de Riemann (sommes de Darboux ; définition de l'intégrale ; les grandes classes de fonctions intégrables ; les sommes de Riemann ; propriétés algébriques de l'intégrale ; les théorèmes de la moyenne ; notion de primitive et propriétés des primitives ; calcul des primitives ; intégrale de Riemann pour les fonctions à valeurs complexes).

Contenu

1. Approfondissement du point 2. du thème 1A (généralités sur les fonctions de la variable réelle).

2. Intégrales dépendant d'un paramètre.

3. Intégrales généralisées et applications.

Commentaires : A propos de l’usage des calculatrices, on rappelle que les primitives courantes se calculent à l'aide du noyau de calcul formel des calculatrices autorisées. En application de ce thème, l'étude des courbes paramétrées et polaires du plan (mais aussi de celles de l’espaces)  peut être traité aussi bien en analyse qu’en géométrie, selon l’aspect sur lequel on met l’accent.

Cours en ligne

• Notion de limite pour une fonction de la variable réelle Application à l'étude des branches infinies.

• Continuité en un point. Fonctions continues. Nous placons ce document dans la lignée de celui consacré aux limites, en particulier pour le niveau de l'exposé. Les démonstrations des propriétés qui découlent quasi immédiatement de résultats sur les limites ne seront en général pas reprises. Dans le cas où ce document est utilisé comme support pour une préparation à la première épreuve orale du CAPES, ceci ne veut pas dire que le candidat au CAPES peut tout mettre en pré-requis puisqu'il s'expose à ce qu'on lui demande la démonstration des propriétés les plus significatives. C'est de toute façon un bon exercice que de lire ce document crayon en main et de refaire les démonstrations dans le cadre présent, souvent plus simple !

• Etude locale des fonctions et des suites.

• Calcul différentiel. I : Définitions & premières propriétés. II : Grands théorèmes & Applications. Dans le premier document, on présente la notion de nombre dérivée au travers des développements limités d'ordre 1. On sait qu'il y a équivalence pour une fonction entre posséder en un point un développement limité d'ordre 1 et un nombre dérivé. C'est faux pour les ordres supérieurs : une fonction peut posséder un développement limité d'ordre strictement supérieur à 1, tout en étant uniquement dérivable à l'ordre 1 (...). Le document se poursuit par une étude rapide des fonctions dérivables, de classe C^p où p est un entier supérieur ou égal à 1. Les grands résultats sont reportés dans le document suivant. Cependant, deux résultats utilisés dans le cours du document (le théorème des accroissement finis et un théorème de Darboux) sont énoncés et démontrés en annexe. Le second document regroupe des théorèmes fondamentaux du calcul différentiel comme le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis et l'inégalité des accroissements finis.

• Construction de l'intégrale de Riemann. Propriétés essentielles. Cette construction utilise les sommes de Darboux.

• Une introduction aux équations fonctionnelles classiques (épreuve d'oral 1). Les équations fonctionnelle figurent parmi les problèmes difficiles des mathématiques. On présente ci-dessous trois exemples classiques qui sont tous susceptibles de figurer dans un problème écrit ou dans un programme d'oral de concours. Il s'agit des équations f( xy ) = f(x) + f(y) ; f ( x+y ) = f(x) f(y) et f( xy ) = f(x) f(y).

• Cours sur les Intégrales généralisées (hors programme d'oral 1). Dans la théorie de l'intégrale de Riemann, la notion d'intégrale généralisée arrive relativement naturellement. En lisant ce document, le lecteur aura intérêt à penser aux analogies à établir avec l'étude des séries numériques (ou complexes). Des liens entre la convergence de séries et d'intégrales particulières sont par ailleurs étudiés.

• Intégrales dépendant d'un paramètre : Dans l'optique du concours, le seul cadre pour lequel il est indispensable de connaître des théorèmes d'existence et de régularité est celui d'une fonction définie sur un intervalle I à l'aide d'une intégrale dépendant d'un paramètre, avec un intervalle d'intégration compact. Le programme se limitant à l'intégrale de Riemann, il n'est pas nécessaire de maîtriser des théorèmes de convergence dominée (Ces théorèmes permettent des preuves plus simples à certains résultats de ce document). (...) Le cas d'une fonction définie à l'aide d'une intégrale généralisée est traité. C'est ce cas qui donne lieu à des questions importantes dans les problèmes. On présente donc deux exemples de mise en oeuvre, dans les premières épreuves des CAPES de 1988 et de 1993.

Thème 2B : Fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples

Prérequis

• Les thèmes 0 à 2A.

• Notions de base sur les fonctions de plusieurs variables (notions de différentielle et de dérivées partielles, matrice jacobienne, inégalité des accroissements finis, différentielles et dérivées partielles d'ordre supérieur, théorème de Schwarz, formule de Taylor, recherche d'extrema d'une fonction numérique de plusieurs variables).

Contenu

1. Compléments et révisions sur les fonctions de plusieurs variables.

2. Pratique du calcul des intégrales doubles et triples.

Commentaires : Le programme du concours n'est pas très difficile sur ce thème. On demande au candidat de connaître les propriétés de base des fonctions de plusieurs variables.

Cours en ligne

• Petit memento sur le calcul différentiel (hors programme d'oral 1).

N.B. Le lecteur pourra également visiter http://ens.univ-rennes1.fr/mathsciences1/ ou bien http://www.univ-ag.fr/~mhasler/m2/ pour des rappels de cours bien conçus sur le thème 2).

Thème 3 : Suites et séries de fonctions, analyse de Fourier

Prérequis

• L'intégralité du thème 0, du thème 1 et notamment :

• Les notions de base sur les suites et séries numériques et complexes,

• L'étude des fonctions de la variables réelles.

• Le thème 2.

• Les généralités sur les suites et séries de fonctions. 

Contenu

1. Révisions et approfondissement sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ; exemples,...)

2. Révisions et approfondissement sur les séries de fonctions (convergence simple, uniforme, normale ; exemples,...)

3. Application à l'étude d'intégrales généralisées dépendant d'un paramètre.

4. Révisions sur les séries entières.

5. Révisions sur les séries de Fourier.

Commentaires : Un cours synthétique portera sur les points 1., 2., 4. et 5. On mentionnera ici l'importance des théorèmes de régularité (qui donnent des conditions suffisantes pour qu'une limite de suites de fonctions, ou la somme d'une série possède la régularité des termes de la suite considérée).  C’est un sommet du programme du concours en analyse !

Cours en ligne

• Cours sur les suites et séries de fonctions.

Thème 4 : Equations différentielles

Prérequis

• L'intégralité des thèmes 0 à 2.

• Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 à coefficients constants (théorie et pratique de la résolution, étude des équations avec seconds membres classiques).

• Les systèmes linéaires à coefficients constants d'ordre 1 (pratique de la résolution).

Contenu

1. Les systèmes linéaires et les équations différentielles linéaires : généralités, problème de Cauchy, théorème de Cauchy-Lipschitz, étude qualitative des solutions.

2. Etude des équations différentielles d'ordre 1 et 2.

3. Exemples usuels d'équations différentielles non-linéaires.

Commentaires : Le programme n’est peut être pas très poussé (par exemple, il ne demande pas de connaître une preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz). En revanche, un texte de concours peut demander une parfaite connaissance des conséquences des théorèmes fondamentaux sur la structure des ensembles de solutions des équations différentielles linéaires. Il faut également maîtriser les liens entre équations différentielles et leurs solutions, intégrales généralisées, suites ou séries de fonctions. C’est là ou se trouve des sources de nombreux (beaux) problèmes mathématiques pouvant inspirer un texte de concours. Un cours pourra faire le point sur les équations différentielles et des travaux dirigés présenteront des exemples des liens évoqués ci-dessus.

Cours en ligne

• Equations différentielles.

Voici une liste de cours (dont la disponibilité a été vérifiée  le 9 juin 2008) de contenu mathématique irréprochable, et plus que suffisants pour asseoir une bonne culture en analyse. Le niveau de chaque document (de L1 à L3) est donné ainsi que son auteur, son contenu, son nombre de pages et sa nature (PDF pour l'essentiel).

Analyse réelle

• L1 - Cours d'analyse de O. Debarre (85 pages, PDF) Nombres réels, suites numériques, continuité et dérivabilité des fonctions. (http://www-irma.u-strasbg.fr/~debarre/DEUG1.pdf)

• Cours d’analyse de A. Giroux  (université de Montréal) : http://www.dms.umontreal.ca/~giroux/analyse.html : La première partie de ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions réelles d'une variable réelle, la deuxième sur le calcul intégral et la troisième le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. La quatrième partie porte sur les fonctions de la variable complexe et dépasse le programme du CAPES.

• L2 - Séries numériques, suites et séries de fonctions de A. Yger (93 pages, PDF) Suites et séries, convergences, séries entières, de Fourier. (http://www.math.u-bordeaux.fr/~yger/coursan.pdf)

• L1-L2 - Analyse « mathématiques 2 », M. Hasler (DVI, PDF) Intégration, courbes paramétrées, développements limités, équations différentielles (...). http://www.univ-ag.fr/~mhasler/m2/. (Comporte également des cours d'algèbre.)

Analyse numérique

• L3 - Analyse numérique, A. Magnus (177 pages, PDF) Théorèmes généraux d'existence et d'unicité de meilleure approximation, approximation au sens de Tchebycheff, approximation en moyenne, interpolation et applications, différences finies. (http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num1a/m2171l1.pdf)

Quelques autres sites mathématiques

• L'Anneau des Mathématiques Francophones  http://www.ann.jussieu.fr/anneau/

• Les mathematiques.net http://www.les-mathematiques.net : Des cours de Mathématiques de niveau universitaire.

• IREM des Antilles et de la Guyane   http://calamar.univ-ag.fr/uag/irem/ :Visitez son site « rallye des mathématiques. Plein d’autres informations disponibles.

• Le portail des IREM http://www.univ-irem.fr/ : Présentation des instituts de recherche sur l’enseignement des mathématiques.

• Publimath http://publimath.irem.univ-mrs.fr/ : Une base de données bibliographiques sur l'enseignement des mathématiques, mise en ligne par les IREM.

• Sesamath   http://www.sesamath.net/ : Par l’association Sesamath. Des outils et ressources numériques gratuits en grand nombre pour l’enseignement des mathématiques.